całka oznaczona

[malineczka8888]

1)Przybliżyć całkę dowolną sumą całkową:
\(\int_{1}^{4}2dx\)
2) Wykorzystując zmianę zmiennej w całce oznavczonej obliczyć|:
\(\int_{-3}^{-1}(x+2)^5dx\)
3) Obliczyć długość łuku krzywej:
\(y=x^2\) pomiędzy A(0.0) i B(2,4)
4) Wyprowadzić wzór na pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy R oraz wysokości H
5) Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej:
y=x dla \(x \in [0,4]\)

[radagast]

1)Przybliżyć całkę dowolną sumą całkową:
\(\int_{1}^{4}2dx\)

prawdę mówiąc nie wiem co to znaczy " dowolną sumą całkową" ale spróbuję, może trafię: Widać, ze to ma wyjść 6 (2*3=6)

\(\int_{1}^{4}2dx= \left[2x \right]_1^4=8-2=6\) Trafiłam ?

[radagast]

2) Wykorzystując zmianę zmiennej w całce oznavczonej obliczyć|:
\(\int_{-3}^{-1}(x+2)^5dx\)

też nie do końca rozumiem polecenie , ale tez spróbuję:
\(\int_{-3}^{-1}(x+2)^5dx= \left( x+2=t\\x=t-2\\dx=dt\right)= \int_{-1}^{1}t^5dt= \frac{1}{6} \left[ t^6\right]_{-1}^1=0\)

[radagast]

+
3) Obliczyć długość łuku krzywej:
\(y=x^2\) pomiędzy A(0.0) i B(2,4)

\(l= \int_{0}^{2} \sqrt{1+(2x)^2}dx= \left( 2x=t\\dx= \frac{1}{2}dt \right)= \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{1+t^2}dt= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left[ t \sqrt{1+t^2} +ln \left(t+ \sqrt{1+t^2} \right) \right]_0^4=
\frac{1}{4} \left[4\sqrt{17} +ln \left(4+ \sqrt{17} \right) \right]=\sqrt{17} + \frac{ln \left(4+ \sqrt{17} \right)}{4}\)

zastosowany wzór masz tu: http://www.youtube.com/watch?v=6k974uSs8UE
Całkę znalazłam w tablicach. Sprawdź rachunki, mogłam się pomylić

[janekk]

5) wzór:
\(y=f(x)\)
\(x\in [a,b]\)
\(|P|=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2 }dx\)

[radagast]

4) Wyprowadzić wzór na pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy R oraz wysokości H

No to z tego wzoru Janka, który zresztą jest też tu: http://www.youtube.com/watch?v=2IUxLeOrYo4
Obracana funkcja to \(f(x)= \frac{R}{h}x\)
\(2 \pi \int_{0}^{h} \frac{R}{h}x \sqrt{1+ \left( \frac{R}{h} \right) ^2}dx= \frac{2 \pi R}{h} \sqrt{1+ \left( \frac{R}{h} \right)^2 } \cdot \frac{1}{2} \left[x^2 \right] _0^h= \frac{ \pi R}{h} \sqrt{1+ \left( \frac{R}{h} \right)^2 } \cdot h^2= \pi Rh \sqrt{1+ \left( \frac{R}{h} \right)^2 } =
\pi R \sqrt{h^2+R^2 } = \pi Rl\)

[radagast]

5) Dokończę jeszcze to co zaczął Janek:
\(|P|=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2 }dx=2 \pi \int_{0}^{4} x \sqrt{1+1 }dx= 2 \sqrt{2} \pi \frac{1}{2} \left[x^2 \right]_0^4 =16 \pi \sqrt{2}\)

[dadam]

A propo sum całkowych
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... j_zmiennej

W Twoim przypadku funkcja jest stała=2 na całym przedziale [1,4].

Dzielimy ten przedział na n- jednakowych przedziałów \([x_k,x_{k+1}]=[1+k \cdot \frac{3}{n} ,\ \ 1+(k+1) \cdot \frac{3}{n} ]\)

\(k=0,1,2,...,n-1\)

Długość każdego przedziału \(\Delta _k=x_{k+1}-x_k= \frac{3}{n}\)
Suma całkową liczy się tak, że bierze się np. maksymalne wartości funkcji w tych przedziałach i mnoży przez długość tych przedziałów i sumuje te iloczyny (górna suma całkowa):

\(S_+= \sum_{k=0}^{n-1}f_k^{max} \cdot \Delta _k\)

lub minimum warości funkcji w tych przedziałach razy długość przedziału (suma dolna całkowa):

\(S_-=\sum_{k=0}^{n-1}f_k^{min} \cdot \Delta _k\)

W tym wypadku funkcja jest stała więc \(S_+= \sum_{k=0}^{n-1}f_k^{max} \cdot \Delta _k =\sum_{k=0}^{n-1}2 \cdot \frac{3}{n} =n \cdot 2 \cdot \frac{3}{n}=6\) ( wartości funkcji nie zależą od przedziału, na którym liczymy, czyli od k, bo f. stała)

Dolna suma całkowa jest dokładnie taka sama w tym przypadku.