proszę o pomoc w rozwiązaniu:
metodą indukcji matematycznej wykaż , że dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n:
liczba \(5*49^{n+1}+8^n\) jest podzielna przez 41.
dziękuję
Podzielność przez 41
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(n=1\\5\cdot49^2+8^1=5\cdot2401+8=12013=41\cdot293\)
\(k\in N_+\\Z.\\5\cdot49^{k+1}+8^k=41a,\ \ a\in N_+\\T.\\5\cdot40^{k+2}+8^{k+1}=41b,\ \ b\in N_+\)
\(D.\\5\cdot41^{k+2}+8^{k+1}=49\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot8^n=41\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot8^k=\\=41\cdot5\cdot49^{k+1}+8(5\cdot49^{k+1}+8^k)=41\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot41a=\\=41\cdot(5\cdot49^{k+1}+8a)=41b,\ \ b=5\cdot49^{k+1}+8a\ \in\ N_+\)
\(k\in N_+\\Z.\\5\cdot49^{k+1}+8^k=41a,\ \ a\in N_+\\T.\\5\cdot40^{k+2}+8^{k+1}=41b,\ \ b\in N_+\)
\(D.\\5\cdot41^{k+2}+8^{k+1}=49\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot8^n=41\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot8^k=\\=41\cdot5\cdot49^{k+1}+8(5\cdot49^{k+1}+8^k)=41\cdot5\cdot49^{k+1}+8\cdot41a=\\=41\cdot(5\cdot49^{k+1}+8a)=41b,\ \ b=5\cdot49^{k+1}+8a\ \in\ N_+\)