Szereg potęgowy

[martaaa7]

Oblicz \(\frac{1}{\sqrt[4]{e}}\) z dokładnością do 0,0001.
Zrobiłam to tak
\(e^{\frac{-1}{4}}=f(\frac{-1}{4})=1+\frac{\frac{-1}{4}}{1!} + \frac{\frac{1}{16}}{2!} + \frac{\frac{-1}{64}}{3!} + \frac{\frac{1}{256}}{4!} + \frac{\frac{-1}{1024}}{5!}e^{(1-\lambda)(\frac{-1}{4})}\). Sumując do 4! wyszło mi 0,7788, tylko nie wiem jak błąd. Proszę o pomoc i sprawdzenie moich obliczeń.

[octahedron]

\(f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f(0)^{(k)}}{k!}x^k+\frac{f(\lambda x)^{(n+1)}}{(n+1)!}x^{n+1},\ 0\le \lambda\le 1
|\Delta f|=\|f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f(0)^{(k)}}{k!}x^k\|=\|\frac{f(\lambda x)^{(n+1)}}{(n+1)!}x^{n+1}\|=\|\frac{e^{-\frac{\lambda}{4}}}{(n+1)!}\cdot\(-\frac{1}{4}\)^{n+1}\|\le \frac{1}{(n+1)!}\cdot\(\frac{1}{4}\)^{n+1}=
=\frac{1}{4^{n+1}(n+1)!}=R(n)\le 0,0001
R(3)=\frac{1}{6144}>0,0001
R(4)=\frac{1}{122880}<0,0001\)

czyli trzeba wziąć \(5\) pierwszych wyrazów szeregu

[martaaa7]

Ale dlaczego 5 wyrazów jak przy 4 jest już \(\frac{\frac{1}{1024}}{5!}=\frac{1}{122880}<0.0001\) Nie powinno się 4 wyrazów zsumować a 5 jest resztą?

[octahedron]

\(1+\frac{\frac{-1}{4}}{1!} + \frac{\frac{1}{16}}{2!} + \frac{\frac{-1}{64}}{3!} + \frac{\frac{1}{256}}{4!}\)

wyrazów jest pięć

[martaaa7]

ahhh no tak;d A co z tym błędem przybliżenia?

[octahedron]

Oszacowanie błędu to \(R(n)\)

[martaaa7]

\(\frac{\frac{1}{1024}}{5!}e^{(1-\lambda)(\frac{-1}{4})}\)
Można napisać że \(1 \le e^{(1-\lambda)(\frac{-1}{4})} \le 3\) czyli
\(\frac{\frac{1}{1024}}{5!}e^{(1-\lambda)(\frac{-1}{4})} \le \frac{3}{122880} \le \frac{1}{10000}\)? czyli wynik to \(0,7788 +/-0.0001\)??

[octahedron]

\(e^{-\frac{1}{4}} \le e^{(1-\lambda)(\frac{-1}{4})} \le 1
\frac{\frac{1}{1024}}{5!}e^{(1-\lambda)(\frac{-1}{4})} \le \frac{1}{122880} \le \frac{1}{10000}\)