pierscienie

[kingula_36]

Sprawdzi¢, czy R z dzialaniami: \(a + b := a + b + 1, ab := a + b + ab\)jest cialem.

[patryk00714]

Należy pokazać, że:
1) \((R,+)\)- gr.abelowa
2) \((R, \cdot )-<0>\)-gr.abelowa
a także, że \(a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c\)

Zatem do dzieła.

Ad.1 \((R,+)\)- gr.abelowa

a) przemienność: \(a+b=a+b+1=b+a+1=b+a\), zatem działanie \(+\) jest przemienne.

b) łączność: \(a+(b+c)=a+b+c+1+1=a+b+c+2\)
\((a+b)+c=a+b+1+c+1=a+b+c+2\), a więc jak widac obie strony są sobie równe, więc działanie \(+\) jest łączne.

c) element neutralny \(e \in R\): \(a+e=a\), a więc \(a+e+1=a \Rightarrow e=-1\)

d) element odwrotny \(a' \in R\): \(a+a'=e=-1\)

Zatem istotnie struktura \(<R,+>\) jest grupą abelową.

Ad.2 \((R, \cdot )-<0>\)-gr.abelowa

a) przemienność: \(a \cdot b=a+b+ab=b+a+ba=b \cdot a\), zatem wszystko gra.

b) łączność: \(a \cdot (b \cdot c)=a \cdot (b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc\)
\((a \cdot b) \cdot c=(a+b+ab) \cdot c=a+b+ab+c+ac+bc+abc=a+b+c+bc+ab+ac+abc\) zatem istotnie to jest równe, więc łączność jest spełniona.

c) element neutralny: \(a \cdot e=a \Rightarrow a+e+ae=a \Rightarrow e(1+a)=0 \Rightarrow e=0\)

d) element przeciwny: \(a \cdot a'=e \Rightarrow a+a'+aa'=0 \Rightarrow a'(1+a)=-a \Rightarrow a'= \frac{-a}{1+a}\)

zatem struktura \(<R, \cdot >-<0>\) jest gr.abelową

Ad. 3. \(a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c\)
\(a \cdot (b+c+1)=a+b+c+1+ab+ac+a=2a+b+c+ab+ac+1\)

\(a \cdot b+a \cdot c=(a+b+ab)+(a+c+ac)=a+b+ab+a+c+ac+1=2a+b+c+ab+ac+1\), czyli jest git.

Zatem istotnie struktura algebraiczna \(<R,+, \cdot >\)jest ciałem