Liczby całkowite

[alicja_91]

Wyznacz co najmniej jedną parę liczb całkowitych \((x, y)\):

\(13x-21y= 1\) i \(-10 \le x \le 10\)

[kamil13151]

\(13x-21y= 1 \\ x= \frac{1}{13} + \frac{21}{13} y\)

Teraz rozwiązać: \(-10 \le \frac{1}{13} + \frac{21}{13} y \le 10\)

I potem te parę liczb sprawdzić.

[alicja_91]

Myślałam, że rozwiązujemy to zadanie za pomocą wzoru: \(a = k \cdot b + r\), gdzie \(0 \le r < b\)
Na podstawie wzoru to tak by było: \(-10 \le \frac{1}{13} \le 10\).

Albo się mylę.

[kamil13151]

\(-10 \le \frac{1}{13} + \frac{21}{13} y \le 10 \\ -130 \le 1 + 21 y \le 130 \\ -131 \le 21y \le 129 \\ \text{ok.} \ -6 \le y \le \ \text{ok.} \ 6\)

Nie znam tego Twojego wzorku...

[alicja_91]

Dziękuje, ten sposób, który napisałeś, jest lepszy i łatwiejszy. A wzór, który napisałam, może to jest niewłaściwy. Sama nie wiem.

To rozumiem, że odpowiedź to: \(\text{ok.} \ -6 \le y \le \ \text{ok.} \ 6\). Chodzi mi o to, jak poprawnie napisać odpowiedź.

[lukasz8719]

Rozwiązaniem przykładowych jest para (-8,-5) Tu akurat dało się łatwo w głowie porachować. Nie pamiętam dobrze metody, ale dobrze myślałaś. To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych bo NWD(13,-21)=1 a 1 dzieli 1 (tu teraz mi chodzi o wyraz wolny równania) Rozwiązujesz to algorytmem Euklidesa. Dużo Ci nie pomogę bo dawno dawno temu to miałem.

[kamil13151]

To rozumiem, że odpowiedź to: \(\text{ok.} \ -6 \le y \le \ \text{ok.} \ 6\). Chodzi mi o to, jak poprawnie napisać odpowiedź.

To nie jest odpowiedź. Wyliczyłem tym w jakim przedziale szukać \(y\) by było nam łatwiej znaleźć tą parę liczb.

[lukasz8719]

No tak, ale raczej prowadzący zajęcia nie uznałby tej metody, bo zadanie jest w zakresie teorii liczb i pewnie polega na wyznaczeniu wzoru ogólnego na rozwiązania całkowite tzn (x(t), y(t)) i potem dopiero z niego konkretną parę.
Gdzie
\(x(t) = x_0+at\) \(y(t)=y_0+bt\) gdzie \(x_0 y_0\) liczymy z rozłożenia i zwinięcia algorytmu Euklidesa dla a i b

[Galen]

Przedstaw y jako funkcję argumentu x.
\(y=\frac{13}{21}x-\frac{1}{21}\)
Jest to funkcja liniowa rosnąca.Najmniejsza wartość to \(f(-10) \notin C\) , zaś największa
to \(f(10) \notin C\)
Obliczasz wartości funkcji dla liczb całkowitych zawartych między liczbami -10 i 10.
Otrzymasz liczby niecałkowite,jedynie dla -8 wartość funkcji jest liczbą całkowitą.
\(f(-8)=-5\)
Odp.Jest tylko jedna taka para liczb
\((-8;-5)\)

[alicja_91]

Nie chciałam zakładać drugiego takiego samego tematu, otóż mam problem, bo rozwiązaliśmy przykład \(5x+13y=1\) i \(0 \le x<13\) na tablicy.

Na tablicy:
\(5x+13y=1\) i \(0 \le x<13\)

\(\begin{cases}x=8 \\y = -3\end{cases}\)
\(\begin{cases}x_t=8+13 \cdot t \\y_t = -3-5 \cdot t \end{cases}\)

\((8,-3)\) - jedyne rozwiązanie

Praktycznie nic z tego nie rozumiem.
------
Ja rozwiązałabym tak:

\(5x+13y=1\) i \(0 \le x<13\)

\(13=2 \cdot 5+3\)
\(5=1\cdot 3+2\)
\(3=1\cdot 2+1
2=2\cdot 1+0\)

\(1=3-2=3-(5-3)=3-5+3=2\cdot 3-5=2(13-2\cdot 5)-5=2\cdot 13-4\cdot 5-5=2\cdot 13-5\cdot 5\)

\(2\cdot 13-5\cdot 5
-5\cdot 5+13 \cdot 2=1\)
\(\begin{cases}x=-5 \\y = 2\end{cases}\)
\(\begin{cases}x_t=-5+13 \cdot t \\y_t = 2-5 \cdot t \end{cases}\)

\((-5,2)\)

To jak powinno być? Ten przykład, który był na tablicy jest dobrze rozwiązany?

[lukasz8719]

Zarówno przykłąd na tablicy jak twój jest dobrze rozpisany. Twój prowadzący zapewne policzył to wcześniej otrzymał tak jak ty na bazie Euklidesa (-5,2) i odpowiednio dodał. Wzór ogólny to
\(\begin{cases}x_t=-5+13t \\ y_t=2-5t \end{cases}\)
Ale wyrazem \(x_0\) może to być -18,-5,8,21 i kazda kolejna wielokrotność 13 i odpowiednio \(y_0\) może być 7,2,-3,-8 i każda dodana kolejna wielokrotność -5
Jak podstawisz pod t 1 to otrzymasz konkretny wynik, króry należy do zadanego w zadaniu przedziału. tj (8,-3)
-5+13=8 2-5=-3

[alicja_91]

Ojej, ale skomplikowane, ale tak Ci dziękuje. Chyba wiem, dlaczego prowadzący tak napisał, bo mamy \(0 \le x<13\) i dlatego nie napisał: \((-5,2)\), bo \(x=-5\), a nie należy do \(0 \le x<13\), więc jedynym rozwiązaniem jest: \((8,-3)\).

Chyba o to chodziło?

[lukasz8719]

Tak o to mu chodziło