pierscienie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kingula_36
- Rozkręcam się
- Posty: 69
- Rejestracja: 10 sty 2011, 18:33
- Podziękowania: 14 razy
pierscienie
Udowodnic, ze \(Z = { \left\{ a + bi; a; b \in Z\right\} }\) jest pierscieniem, (jest to tzw. pierscien liczb Gaussa).
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
wystarczy, ze pokazesz ze \(\mathbb{Z}\) jest podpierscieniem pierscienia \(\mathbb{C}\)
albo droga przez sprawdzenie wszystkich warunkow (wlasnie to robie) jesli ktos tego wczesniej nie rozwiaze to pozniej zamieszcze swoje rozwiazanie
niech \(\begin{cases} x=a+bi\\y=c+di\\z=e+fi\\end{cases}\) gdzie \(a,b,c,d,e\in\mathbb{Z}\)
1) Najpierw musimy sprawdzic rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania
\(x(y+z)=(x+y)z\)
\(x(y+z)=(a+bi)(c+di+e+fi)=ac+adi+ae+afi+cbi-bd+ebi-bf\) a z drugiej strony mamy
\(xy+xz=[(a+bi)(c+di)]+[(a+bi)(e+fi)]=(ac+adi+bci-bd)+(ae+afi+bei-bf)\)
czyli sie zgadza
natomiast
\((x+y)z=xz+yz\)
po lewej stronie mamy
\((a+bi+c+di)(e+fi)=(ae+afi+bei-bf)+(ce+cfi+dei-df)\)
a po prawej
\(xz+yz=[(a+bi)(e+fi)]+[(c+di)(e+fi)]=(ae+afi+bei-bf)+(ce+cfi+dei-df)\)
zatem \((x+y)z=x(y+z)\)
2) sprawdzenie przemiennosci mnozenia
zatem \(x(yz)=(xy)z\)
\(yz=(c+di)(e+fi)=ce+cfi+dei-df\) wiec po lewej stronie bedzie
\(x(yz)=(a+bi)(ce+cfi+dei-df)=(ace+acfi+adei-adf+bcei-bcf-bde-bdfi)\)
a z prawej strony mamy
\(xy=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd\) wiec
\((xy)z=(ac+adi+bci-bd)(e+fi)=(ace+acfi+adie-adf+bcie-bcf-bde-bdfi)\)
widac, ze \(x(yz)=(xy)z\)
3) lacznosc dodawania
\((x+y)+z=x+(y+z)\)
\((a+bi+c+di)+e+fi=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+c+e)+(d+f+b)i=a+bi+(c+di+e+fi)\)
tez sie zgadza
4) przemiennosc dodawania
\(x+y=y+x\)
\(a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i\)
5) w pierscieniu musi istniec element neutralny (additive identity)
takim elementem jest \(0+0i\in\math{Z}\) wystarczy wziasc \(a=b=0\)
ktory spelnia warunek
\(x+0+0i=0+0i+x=x\) czyli np dla x
\(a+bi+0+0i=0+0i+a+bi=a+bi\)
6) kazdy element w pierscieniu musi miec swoja odwrotnosc, ktora takze musi nalezec do pierscienia (additive inverse)
taka odwrotnoscia np dla x jest oczywiscie \(-x=-a+(-b)i\in\mathbb{Z}\) poniewaz
\(x+(-x)=e\) zatem
\(a+bi+(-a-bi)=(a-a)+(bi-bi)=0+0i\)
dlatego zbior liczb calkowitych Gaussa z dzialaniem mnozenia i dzielenia jest pierscieniem
albo droga przez sprawdzenie wszystkich warunkow (wlasnie to robie) jesli ktos tego wczesniej nie rozwiaze to pozniej zamieszcze swoje rozwiazanie
niech \(\begin{cases} x=a+bi\\y=c+di\\z=e+fi\\end{cases}\) gdzie \(a,b,c,d,e\in\mathbb{Z}\)
1) Najpierw musimy sprawdzic rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania
\(x(y+z)=(x+y)z\)
\(x(y+z)=(a+bi)(c+di+e+fi)=ac+adi+ae+afi+cbi-bd+ebi-bf\) a z drugiej strony mamy
\(xy+xz=[(a+bi)(c+di)]+[(a+bi)(e+fi)]=(ac+adi+bci-bd)+(ae+afi+bei-bf)\)
czyli sie zgadza
natomiast
\((x+y)z=xz+yz\)
po lewej stronie mamy
\((a+bi+c+di)(e+fi)=(ae+afi+bei-bf)+(ce+cfi+dei-df)\)
a po prawej
\(xz+yz=[(a+bi)(e+fi)]+[(c+di)(e+fi)]=(ae+afi+bei-bf)+(ce+cfi+dei-df)\)
zatem \((x+y)z=x(y+z)\)
2) sprawdzenie przemiennosci mnozenia
zatem \(x(yz)=(xy)z\)
\(yz=(c+di)(e+fi)=ce+cfi+dei-df\) wiec po lewej stronie bedzie
\(x(yz)=(a+bi)(ce+cfi+dei-df)=(ace+acfi+adei-adf+bcei-bcf-bde-bdfi)\)
a z prawej strony mamy
\(xy=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd\) wiec
\((xy)z=(ac+adi+bci-bd)(e+fi)=(ace+acfi+adie-adf+bcie-bcf-bde-bdfi)\)
widac, ze \(x(yz)=(xy)z\)
3) lacznosc dodawania
\((x+y)+z=x+(y+z)\)
\((a+bi+c+di)+e+fi=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+c+e)+(d+f+b)i=a+bi+(c+di+e+fi)\)
tez sie zgadza
4) przemiennosc dodawania
\(x+y=y+x\)
\(a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i\)
5) w pierscieniu musi istniec element neutralny (additive identity)
takim elementem jest \(0+0i\in\math{Z}\) wystarczy wziasc \(a=b=0\)
ktory spelnia warunek
\(x+0+0i=0+0i+x=x\) czyli np dla x
\(a+bi+0+0i=0+0i+a+bi=a+bi\)
6) kazdy element w pierscieniu musi miec swoja odwrotnosc, ktora takze musi nalezec do pierscienia (additive inverse)
taka odwrotnoscia np dla x jest oczywiscie \(-x=-a+(-b)i\in\mathbb{Z}\) poniewaz
\(x+(-x)=e\) zatem
\(a+bi+(-a-bi)=(a-a)+(bi-bi)=0+0i\)
dlatego zbior liczb calkowitych Gaussa z dzialaniem mnozenia i dzielenia jest pierscieniem
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
Re:
Edit: z dzialaniem mnozenia i dodawania oczywiscie mialo byc
ta struktura jest wlasciwie tez dziedzina calkowitosci
czy Tobie tez tak wyszlo?
Zastanawiam sie tez nad inna rzecza
np czy \(1,-1,i,-i\) nie sa tez elementami neutralnymi ??
Jutro mam zajecia z naszym prowadzacym i go zapytam o to zadanie
ta struktura jest wlasciwie tez dziedzina calkowitosci
czy Tobie tez tak wyszlo?
Zastanawiam sie tez nad inna rzecza
np czy \(1,-1,i,-i\) nie sa tez elementami neutralnymi ??
Jutro mam zajecia z naszym prowadzacym i go zapytam o to zadanie
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)