Mam wyliczyć długość krzywej i na starcie mam całkę z funkcji:
\(y= \sqrt{1 + e^{2x}}\)
jak to ugryźć?
długość krzywej - całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Normalnie to się liczy tak: http://www.youtube.com/watch?v=6k974uSs8UE
Ale tu nie masz co liczyć; wyjdzie nieskończoność
(musisz dodać ograniczenia długości (\(x \in (....,.....)\))
Ale tu nie masz co liczyć; wyjdzie nieskończoność
(musisz dodać ograniczenia długości (\(x \in (....,.....)\))-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Jeśli chodzi o całkę, to wyglada to tak:
\(\int\sqrt{1+e^{2x}}\,dx=\int\frac{\sqrt{1+e^{2x}}}{2e^{2x}}\cdot 2e^{2x}\,dx=\{1+e^{2x}=u\\du=2e^{2x}\,dx\}=\int\frac{\sqrt{u}}{2(u-1)}\,du=\{\sqrt{u}=t\\du=2t\,dt\}=
=\int\frac{t^2}{t^2-1}\,dt=\int 1+\frac{1}{t^2-1}\,dt=t+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\,dt=t+\frac{1}{2}(\ln|t-1|-\ln|t+1|)=
=t+\frac{1}{2}\ln\|\frac{t-1}{t+1}\|=\sqrt{u}+\frac{1}{2}\ln\|\frac{\sqrt{u}-1}{\sqrt{u}+1}\|=\sqrt{1+e^{2x}}+\frac{1}{2}\ln\|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}\|+C\)
\(\int\sqrt{1+e^{2x}}\,dx=\int\frac{\sqrt{1+e^{2x}}}{2e^{2x}}\cdot 2e^{2x}\,dx=\{1+e^{2x}=u\\du=2e^{2x}\,dx\}=\int\frac{\sqrt{u}}{2(u-1)}\,du=\{\sqrt{u}=t\\du=2t\,dt\}=
=\int\frac{t^2}{t^2-1}\,dt=\int 1+\frac{1}{t^2-1}\,dt=t+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\,dt=t+\frac{1}{2}(\ln|t-1|-\ln|t+1|)=
=t+\frac{1}{2}\ln\|\frac{t-1}{t+1}\|=\sqrt{u}+\frac{1}{2}\ln\|\frac{\sqrt{u}-1}{\sqrt{u}+1}\|=\sqrt{1+e^{2x}}+\frac{1}{2}\ln\|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}\|+C\)