4.sprawdz czy macierz\(\begin{vmatrix}1&-2&\\1&3&\end{vmatrix}\) jest odwarcalna i wylicz macierz odwrotna
5.Dane są macierze: A=\(\begin{vmatrix}0&2&&0&\\2&-1&2&\\1&0&1&\\2&1&1&\end{vmatrix}\), B=\(\begin{vmatrix}0&1&&-1&&0&\\1&-1&2&0&\\1&0&-4&1&\end{vmatrix}\). Który z iloczynów AB, BA jest określony ? Oblicz ten, który istenieje. Czy otrzymana macierz ma wyznacznik? jeśli tak, to go oblicz. Czy macierz ta ma odwrotną ? jesli tak , to oblicz ją ?
6. Wyznacz te wartoscie parametru t, dla ktorych macierz \(\begin{vmatrix}1&t&0&\\-2&-1&t&\\2&1&-1&\end{vmatrix}\) jest odwracalna .
7. Oblicz macierz odwrotna do macierzy o wpolczynnikach zepolonych
a)\(\begin{vmatrix}i&-2+i&\\-1&1+i&\end{vmatrix}\)
b)\(\begin{vmatrix}0&2i&\\1-i&i&\end{vmatrix}\)
macierz odwracalna, odwrotna, wyznaczyki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
cheerfuleri
- Witam na forum
- Posty: 9
- Rejestracja: 28 sty 2012, 12:25
- Płeć:
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
4 ) macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy \(detA\neq 0\) dla Twojej macierzy mamy
\(detA=3+2\neq 0\) zatem macierz odwrotna istnieje i dana jest wzorem \(A^{-1}=\frac{1}{detA}\left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{array}\right]\)
latwo zauwazyc ze \(A\cdot A^{-1}=I\)
zadania 7a i b analogicznie
\(detA=3+2\neq 0\) zatem macierz odwrotna istnieje i dana jest wzorem \(A^{-1}=\frac{1}{detA}\left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{array}\right]\)
latwo zauwazyc ze \(A\cdot A^{-1}=I\)
zadania 7a i b analogicznie
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
Re: macierz odwracalna, odwrotna, wyznaczyki
ad 5) Określony jest iloczyn \(A \cdot B\). Moży się kolejne wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej macierzy, więc liczba elementów w wierszu macierzy pierwszej musi być równa ilości elementów w kolumnie macierzy drugiej, czyli inaczej mówiąc liczba kolumn macierzy pierwszej musi być równa liczbie wierszy macierzy drugiej.
\(A \cdot B=\begin{bmatrix}0&2&&0&\\2&-1&2&\\1&0&1&\\2&1&1&\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&1&-1&0&\\1&-1&2&0&\\1&0&-4&1&\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&-2&4&0\\ 1&3&-12&2\\ 1&1&-5&1\\ 2&1&-4&1 \end{bmatrix}\)
ale sprawdź jeszcze rachunki
\(A \cdot B=\begin{bmatrix}0&2&&0&\\2&-1&2&\\1&0&1&\\2&1&1&\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&1&-1&0&\\1&-1&2&0&\\1&0&-4&1&\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&-2&4&0\\ 1&3&-12&2\\ 1&1&-5&1\\ 2&1&-4&1 \end{bmatrix}\)
ale sprawdź jeszcze rachunki
Otrzymałeś odpowiedź lub podpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!
Re: macierz odwracalna, odwrotna, wyznaczyki
5c.d) Otrzymaliśmy macierz kwadratową, zatem można policzyć jej wyznacznik
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik
Zastosujemy rozwinięcie względem np pierwszego wiersza (można rozwinąć względem dowolnego wiersza lub kolumny, zwykle wybiera się ten wiersz lub kolumnę gdzie jest najwięcej zer, bo to dużo upraszcza rachunki)
\(det (A \cdot B)= \sum_{i=1}^{4} (-1)^{1+i}a_{1i} detM_{1i}\) (gdzie \(M_{1i}\) oznacza macierz powstałą z danej macierzy przez wykreślenie pierwszego wiersza i i-tej kolumny i=1,2,3,4)
\(det (A \cdot B)= (-1)^2 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 3&-12&2\\ 1&-5&1\\ 1&-4&1 \end{vmatrix}+ (-1)^3 \cdot (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1&-12&2\\ 1&-5&1\\ 2&-4&1\end{vmatrix}+ (-1)^4 \cdot 4 \cdot \begin{vmatrix} 1&3&2\\ 1&1&1\\ 2&1&1\end{vmatrix}+(-1)^5 \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 1&3& -12\\ 1&1& -5\\ 2&1& -4\end{vmatrix}\)
Dalej już chyba potrafisz policzyć wyznaczniki macierzy 3x3?
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik
Zastosujemy rozwinięcie względem np pierwszego wiersza (można rozwinąć względem dowolnego wiersza lub kolumny, zwykle wybiera się ten wiersz lub kolumnę gdzie jest najwięcej zer, bo to dużo upraszcza rachunki)
\(det (A \cdot B)= \sum_{i=1}^{4} (-1)^{1+i}a_{1i} detM_{1i}\) (gdzie \(M_{1i}\) oznacza macierz powstałą z danej macierzy przez wykreślenie pierwszego wiersza i i-tej kolumny i=1,2,3,4)
\(det (A \cdot B)= (-1)^2 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 3&-12&2\\ 1&-5&1\\ 1&-4&1 \end{vmatrix}+ (-1)^3 \cdot (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1&-12&2\\ 1&-5&1\\ 2&-4&1\end{vmatrix}+ (-1)^4 \cdot 4 \cdot \begin{vmatrix} 1&3&2\\ 1&1&1\\ 2&1&1\end{vmatrix}+(-1)^5 \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 1&3& -12\\ 1&1& -5\\ 2&1& -4\end{vmatrix}\)
Dalej już chyba potrafisz policzyć wyznaczniki macierzy 3x3?
Ostatnio zmieniony 23 lut 2012, 22:42 przez dadam, łącznie zmieniany 2 razy.
Otrzymałeś odpowiedź lub podpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!
Re: macierz odwracalna, odwrotna, wyznaczyki
ad.6) Wyznacznik tej macierzy musi być różny od zera
\(2t^2 -3t +1 \neq 0 \Leftrightarrow t \neq \frac{1}{2} \wedge t \neq 1 \Leftrightarrow t \in R \setminus \left\{ \frac{1}{2} ,1\right\}\)
\(2t^2 -3t +1 \neq 0 \Leftrightarrow t \neq \frac{1}{2} \wedge t \neq 1 \Leftrightarrow t \in R \setminus \left\{ \frac{1}{2} ,1\right\}\)
Otrzymałeś odpowiedź lub podpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!