całka z ułąmkiem

[suspicious20]

\(- \frac{2}{3} \int_{}^{} (x + \frac{-x}{x^2 +1} )dx = - \frac{2}{3} \int_{}^{} xdx + \frac{2}{3} \int_{}^{} \frac{x}{x^2 +1} dx\)

\(\frac{2}{3} \int_{}^{} \frac{x}{x^2 +1} dx\) - nie wiem jak to policzyc.
mógłbym prosic o wypunktowanie albo przedstawienie kolejnych etapow rozwiązania? Bo wy to wszystko tak szybko robicie ze nie ogarniam.

[rayman]

no to sprobuje
\(\frac{2}{3}\int\frac{x}{x^2+1}dx\)

1) ''wciagam'' 2 do licznika funkcji podcalkowej
\(\frac{1}{3}\int\frac{2x}{x^2+1}dx\)

2) robie podstawienie \(\begin{cases}t=x^2+1\therefore dt=2xdx\end{cases}\) wstawiam to do tej calki i otrzymujesz cos takiego

\(\frac{1}{3}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{3}ln|t|+C\) wracam do mojej 'starej' zmiennej (czyli zamiast t bede miec spowrotem \(x^2+1\)) i dostaje

\(\frac{1}{3}ln|x^2+1|+C\)

teraz rozumiesz?

[suspicious20]

no tak. Właśnie tak zrobiłem, a odpowiedz mi sie nie zgadza. Zobacz sam:
\(\int_{}^{} x^2 arctg2xdx = \frac{1}{3} x^3 arctg2x - \frac{2}{3} \int_{}^{} \frac{x^3}{1+x^2} dx = \frac{1}{3} x^3 arctg2x - \frac{2}{3} \int_{}^{} xdx + \frac{2}{3} \int_{}^{} \frac{x}{x^2 + 1} dx\)
no i dalej zrobilem tak jak Ty.
Ostatecznie wyszlo mi :
\(I = \frac{1}{3} x^3 arctg2x - \frac{1}{3} x^2 + \frac{1}{3} ln|x^2+1| +C\)

a w odpowiedzi jest inaczej.
tj.:
\(\frac{1}{3} x^3 arctg2x - \frac{1}{12} x^2 + \frac{1}{48} ln|4x^2+1| +C\)
i nie wiem skąd ten ułamek 1/12 i ten drugi ulamek 1/48 i skad to 4 w logarytmie.

[rayman]

w pierwszej linijce juz masz blad, zauwaz ze pochodna \((arctg(2x))^{\prim}=\frac{2}{4x^2+1}\)
wiec wracajac do samego poczatku bedziemy miec
\(\int x^2arctg(2x)dx=\begin{cases}u=arctg(2x)\therefore du=\frac{2}{4x^2+1}\\dv=x^2\therefore v=\frac{x^3}{3}\end{cases}=
\frac{x^3}{3}arctg(2x)-\frac{2}{3}\int\frac{x^3}{4x^2+1}dx=(*)\)

wiec zostaje nam ta calka

\(\frac{2}{3}\int\frac{x^3}{4x^2+1}dx=(**)\)

funkcje podcalkowa rozkladamy na ulamki proste

\(\frac{x^3}{4x^2+1}=\frac{x}{4}-\frac{1}{4}\frac{x}{(4x^2+1)}\) wrcajac do calki mamy

\((**)=\frac{2}{3}\int\frac{x^3}{4x^2+1}dx=\frac{2}{3}\int\frac{x}{4}dx-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4}\frac{x}{(4x^2+1)}dx=\frac{1}{6}\int xdx-\frac{1}{6}\int \frac{x}{4x^2+1}dx=\frac{x^2}{12}-\frac{1}{6}\int \frac{x}{4x^2+1}dx\)

no i zajmujemy sie calka \(\frac{1}{6}\int \frac{x}{4x^2+1}dx\)

dla tej calki robimy juz wczesniej wspomniane podstawienie
\(\frac{1}{6}\int \frac{x}{4x^2+1}dx=\begin{cases}t=4x^2+1\therefore dt=8xdx\end{cases}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}\int\frac{8x}{4x^2+1}dx=\frac{1}{48}\int\frac{1}{t}dt=\frac{1}{48}ln|4x^2+1|+C\)

\((**)=\frac{x^2}{12}-\frac{1}{48}ln|4x^2+1|+C\)

wracajac ostatecznie do Twojej poczatkowej calki dostajesz
\((*)=\frac{x^3}{3}arctg(2x)-\[\frac{x^2}{12}-\frac{1}{48}ln|4x^2+1|\]+C=\frac{x^3}{3}arctg(2x)-\frac{x^2}{12}+\frac{1}{48}ln|4x^2+1|+C\)

zgadza sie z odpowiedzia (calkiem wdzieczna calka)
\(\int x^2arctg(2x)=\frac{x^3}{3}arctg(2x)-\frac{x^2}{12}+\frac{1}{48}ln|4x^2+1|+C\)