Ciąg arytmetyczny(zadania maturalne-Podkowa)

[Kowalsensei]

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu i rozpisaniu zadań :

1) Oblicz, dla jakich wartości parametru m pierwiastki \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) równania \(x^2-(m+2)x-m^2-1=0\) oraz parametr m w kolejności \(x_{1},m,x_{2}\) są wyrazami ciągu arytmetycznego.

2) Tutaj mi wychodzi dość dziwne równanie i liczby. Długości boków trójkąta prostokątnego są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz :
-długości boków trójkąta, jeśli jego pole jest równe \(150cm^2\)

Moje obliczenia :

\((a)^2+(a+r)^2=(a+2r)^2\)
\(P= \frac{a(a+r)}{2} =150 \Rightarrow r= \frac{300-a^2}{a}\)

[josselyn]

2) Wychodza liczby
15,20i 25
Zaraz to ładnie Ci rozpisze.

[jola]

zad 1.
\(\begin{cases}2m=x_1+x_2\\ x_1+x_2=m+2 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m=2\)

[josselyn]

Rownania są dobre. Wyznacze \(a+r\)
\(a+r= \frac{300}{a}\)
podstawiam do rownania i otrzymuje
\(a^{2}+( \frac{300}{a})^2=( \frac{300}{a}+ \frac{300-a^{2}}{a})^2
a^{2}+ \frac{90000}{a^2}= \frac{(600-a^{2})^2}{a^2}\)
pomnoz obustronnie przez \(a^{2}\) i zastosuj wzory skroconego mnozenia
otrzymamy \(a=15, r=5\)
oraz liczby 15, 20, 25

[jola]

r - różnica ciągu arytmetycznego
x - długość krótszej przyprostokątnej
x-r - długość dłuższej przyprostokątnej
x+r - długość przeciwprostokątnej
\((x+r)^2=x^2+(x-r)^2\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=4r\)

\(\begin{cases} \frac{x(x-r)}{2}=150\\ x=4r \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \begin{cases}12r=300\\ x=4r \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}r=5\\ x=20\\ x-r=15\\ x+r=25 \end{cases}\)

[Kowalsensei]

Dziękuje.

Jedna sprawa tylko, jak powstaje ten drugi warunek \(x_{1}+x_{2}=m+2\) w zadaniu 1 ?

[jola]

wzór Viete'a:\(\ \ \begin{cases} x_1+x_2= \frac{-b}{a} \\ b=-(m+2)\\a=1 \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x_1+x_2=m+2\)

[Kowalsensei]

Aaa, nie zauważyłem tego .