Liczba podzielna przez 120

[alicja_91]

Wykaż, że liczba \(n^5-5n^3+4n\) jest podzielna przez \(120\).

Znalazłam w internecie to rozwiązanie, ale nie bardzo rozumiem. Na ćwiczeniach w inny sposób zapisywaliśmy, więc chcę tak zrobić jak było na ćwiczeniach.

1. \(n=0\), \(120|0\)
2. \(120|n^5-5n^3+4n\)
3.

\((n+1)^5-5(n+1)^3+4(n+1)=
=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-5(n^3+3n^2+3n+1)+4n+4=
= n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-5n^3-15n^2-15n-5+4n+4=
= n^5+5n^4+10n^3-5n^3-5n^2+5n+4n+5\)

\(120|n^5-5n^3+4n\)
\(120|5n^4+10n^3-5n^2+5n+5\) ---> jest podzielna

Czy dobrze zrobiłam?

Na waszej stronie tzn. zadania.info jest to rozwiązane zadanie, tylko nie rozumiem, bo:
\(x^5-5x^3+4x = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\)

"Wśród tych pięciu kolejnych liczb na pewno jest jedna podzielna przez 3 i jedna podzielna przez 5."

Skąd wiemy, że na pewno jest jedna podzielna przez \(3\) oraz przez \(5\), jak to sprawdzić?

[radagast]

Skąd wiemy, że na pewno jest jedna podzielna przez \(3\) oraz przez \(5\), jak to sprawdzić?

bo przez 3 dzieli się co trzecia liczba, a przez 5 co piąta, mamy iloczyn pięciu kolejnych...

[alicja_91]

A no tak, rozumiem. Dziękuje za wytłumaczenie.

A nie jest podzielna przez \(6\), bo nie dzieli się co szósta liczba? Tak?

Gdyby było np. \((x-1)(x+2)x(x+2)(x-3)(x+1)\) to jest podzielna przez \(6\)?

Chcę wiedzieć, czy dobrze rozumiem.

A moje rozwiązanie jest dobrze zrobione?

Jeszcze jedno:

"Musimy jeszcze policzyć dwójki. Wśród tych pięciu liczb jest co najmniej jedna podzielna przez 4 i oprócz tego jeszcze jedna parzysta. Iloczyn dzieli się więc przez 8."

z zadania.info

Co mam przez to rozumieć: "Musimy jeszcze policzyć dwójki" - chodzi o \((x-2)\) i \((x+2)\)?
Rozumiem, że jest jedna podzielna przez 4, ale o co chodzi z jedną parzystą? I jeszcze, skąd wiemy, że iloczyn dzieli się przez \(8\)?

Jest iloczyn pięciu liczb, to skoro iloczyn dzieli się przez \(8\), to \(1,2\)i \(4\), a co z \(3\) i \(5\)?

[radagast]

Gdyby było np. \((x-1)(x+2)x(x+2)(x-3)(x+1)\) to jest podzielna przez \(6\)?

Chcę wiedzieć, czy dobrze rozumiem.

Dobrze rozumiesz. Ale ona (mimo,że nie ma aż 6 kolejnych czynników) i tak dzieli sie przez 6, bo dzieli się przez 2 i przez 3
A to co nam jest potrzebne to \(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120\)
O ile dobrze rozumiem , to na cwiczeniach dowodziliście przez indukcję. Twój dowód (indukcyjny) nie jest dobry (albo go nie rozumiem)
To znaczy nie widzę uzasadnienia , że \(120|5n^4+10n^3-5n^2+5n+5\) ---> jest podzielna. Stwierdzasz tylko taki fakt nie bardzo wiadomo na jakiej podstawie.

[alicja_91]

Tak przez indukcję. No nie wiem, czy dobrze zrobiłam, rozumiem tak, że \(120|5n^4+10n^3-5n^2+5n+5\) ---> jest podzielna, bo \(120\) dzieli się przez \(5,10,-5,5 i 5\).

[alicja_91]

To jak będzie? Czy moje rozumowanie jest dobre?

[radagast]

\((n+1)^5-5(n+1)^3+4(n+1)=
=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-5(n^3+3n^2+3n+1)+4n+4=
= n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-5n^3-15n^2-15n-5+4n+4=
= n^5+5n^4+10n^3-5n^3-5n^2+5n+4n+5\)

Narobiłaś błędów rachunkowych. Powinno być:
\((n+1)^5-5(n+1)^3+4(n+1)=...=n^5-5n^3+4n+5n^4+10n^3-5n^2-10n=120k+5n(n+2)(n-1)(n+1)\) i to co dodajemy do wielokrotności 120 się dzieli przez 120 jako iloczyn piątki i 4 kolejnych liczb naturalnych