Podobieństwo trójkątów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{4}{5}\\|AD|=\frac{5}{9}|AC|\)
\(|CK|=|BK|=x\\|AK|=y\)
Z twierdzenia o dwusiecznej :
- w trójkącie AKC:
\(\frac{|CK|}{|AK|}=\frac{4}{5}\\\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\)
- w trójkącie ABK:
\(\frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|AE|}{|EB|}\\\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{y}{x}=\frac{5}{4}\\|AE|=\frac{5}{9}|AB|\)
\(\frac{|AD|}{|DC|}=\frac{5}{9}\\\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{5}{9}\\\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AE|}{AB|}\)
Na podstawie cechy (bkb) trójkąty AED i ABC są podobne
\(|CK|=|BK|=x\\|AK|=y\)
Z twierdzenia o dwusiecznej :
- w trójkącie AKC:
\(\frac{|CK|}{|AK|}=\frac{4}{5}\\\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\)
- w trójkącie ABK:
\(\frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|AE|}{|EB|}\\\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{y}{x}=\frac{5}{4}\\|AE|=\frac{5}{9}|AB|\)
\(\frac{|AD|}{|DC|}=\frac{5}{9}\\\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{5}{9}\\\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AE|}{AB|}\)
Na podstawie cechy (bkb) trójkąty AED i ABC są podobne
Spróbuję Ci pokazać, skąd bierze się twierdzenie o dwusiecznej.
Spójrz na to tak:
- mamy trójkąt ABC
- prowadzimy dwusieczną kąta ACB. Dwusieczna ta przecina bok AB w punkcie D.
\(|\angle ACD|=|\angle DCB|=\alpha\)
- na półprostej AC (przedłużeniu AC za punkt C) zaznacz punkt E taki, że |CE|=|BC|
Trójkąt BEC jest więc równoramienny.
\(|\angle ECB|=180^0-2\alpha\\|\angle CEB|=|\angle CBE|=\frac{180^0-(180^0-2\alpha)}{2}=\alpha\)
\(|\angle ACD|=|\angle AEB|\)
czyli proste CD i BE są równoległe.
Z twierdzenia Talesa:
\(\frac{|AC|}{|CE|}=\frac{|AD|}{|BD|}\\\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{AC|}{|BC|}\)
I stąd - stosunek odcinków, na jakie dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok jest równy stosunkowi boków tworzących ten kąt.
I to jest właśnie twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.
Zastanowię się jeszcze, czy można to zrobić na poziomie gimnazjum, bez wykorzystywania tego twierdzenia.
P. S. Czy to jest zadanie na poziomie podstawowym w III klasie?
Spójrz na to tak:
- mamy trójkąt ABC
- prowadzimy dwusieczną kąta ACB. Dwusieczna ta przecina bok AB w punkcie D.
\(|\angle ACD|=|\angle DCB|=\alpha\)
- na półprostej AC (przedłużeniu AC za punkt C) zaznacz punkt E taki, że |CE|=|BC|
Trójkąt BEC jest więc równoramienny.
\(|\angle ECB|=180^0-2\alpha\\|\angle CEB|=|\angle CBE|=\frac{180^0-(180^0-2\alpha)}{2}=\alpha\)
\(|\angle ACD|=|\angle AEB|\)
czyli proste CD i BE są równoległe.
Z twierdzenia Talesa:
\(\frac{|AC|}{|CE|}=\frac{|AD|}{|BD|}\\\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{AC|}{|BC|}\)
I stąd - stosunek odcinków, na jakie dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok jest równy stosunkowi boków tworzących ten kąt.
I to jest właśnie twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.
Zastanowię się jeszcze, czy można to zrobić na poziomie gimnazjum, bez wykorzystywania tego twierdzenia.
P. S. Czy to jest zadanie na poziomie podstawowym w III klasie?