Rozwiązać równanie zespolone:
\(z^{6} = (3 - 4i)^{3}\)
Rozwiązać równanie zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(z_1^2=3-4i
z_1=a+ib
(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=3-4i
\{a^2-b^2=3\\2ab=-4\.
\{b=-\frac{2}{a}\\a^2-\(-\frac{2}{a}\)^2=3\.
a^4-3a^2-4=0
(a^2-4)(a^2+1)=0
a=-2\ \vee\ a=2
z_1=2-i
z_2=z_1e^{i\frac{\pi}{3}}
z_3=z_1e^{i\frac{2\pi}{3}}
z_4=z_1e^{i\pi}=-z_1
z_5=-z_1e^{i\frac{\pi}{3}}
z_6=-z_1e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
z_1=a+ib
(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=3-4i
\{a^2-b^2=3\\2ab=-4\.
\{b=-\frac{2}{a}\\a^2-\(-\frac{2}{a}\)^2=3\.
a^4-3a^2-4=0
(a^2-4)(a^2+1)=0
a=-2\ \vee\ a=2
z_1=2-i
z_2=z_1e^{i\frac{\pi}{3}}
z_3=z_1e^{i\frac{2\pi}{3}}
z_4=z_1e^{i\pi}=-z_1
z_5=-z_1e^{i\frac{\pi}{3}}
z_6=-z_1e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
Re: Rozwiązać równanie zespolone
Rozumiem do momentu gdy jest obliczone \(z_1\)
Ale co dalej?
Jak to się oblicza pozostałe \(z\) ? Bo tutaj nagle jakieś \(e, \pi\) itp wychodzą
Jest na to jakiś wzór, żeby obliczyć te pozostałe ? :>
Ale co dalej?
Jak to się oblicza pozostałe \(z\) ? Bo tutaj nagle jakieś \(e, \pi\) itp wychodzą
Jest na to jakiś wzór, żeby obliczyć te pozostałe ? :>
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
To ze wzoru na pierwiastek zespolony:
\(z^n=re^{i\varphi}\Rightarrow z=\sqrt[n]{r}e^{i\(\frac{\varphi}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n}\)},\ k=0,1,...,n-1\)
czyli kolejne pierwiastki mają ten sam moduł i różnią się argumentem o kąt \(\frac{2\pi}{n}\), w naszym przypadku \(\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). A to zwiększenie argumentu można uzyskać mnożąc przez \(e^{i\frac{\pi}{3}}\), bo argumenty się przy mnożeniu dodają.
\(z^n=re^{i\varphi}\Rightarrow z=\sqrt[n]{r}e^{i\(\frac{\varphi}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n}\)},\ k=0,1,...,n-1\)
czyli kolejne pierwiastki mają ten sam moduł i różnią się argumentem o kąt \(\frac{2\pi}{n}\), w naszym przypadku \(\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). A to zwiększenie argumentu można uzyskać mnożąc przez \(e^{i\frac{\pi}{3}}\), bo argumenty się przy mnożeniu dodają.