graniastosłupy prawidłowe sześciokątne

[justyska05]

Zadanie:
Na rysunkach przedstawione są graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, w których wszystkie krawędzie mają jednakowe długości. Oblicz miary kątów \(\alpha\) , \(\beta\) , \(\gamma\) .

ktyt.png (37.78 KiB) Przejrzano 5870 razy

[irena]

a)

Kąt \(\alpha\) to kąt utworzony przez dwie krótsze przekątne graniastosłupa.
a- krawędź graniastosłupa
Krawędź boczna (a) z krótszą przekątna sześciokąta (\(a\sqrt{3}\)) są przyprostokątnymi w trójkącie prostokątnym, w którym przeciwprostokątną jest krótsza przekątna graniastosłupa (x)
\(a^2+(a\sqrt{3})^2=x^2\\x^2=4a^2\\x=2a\)

Mamy tu trójkąt równoramienny, w którym ramiona mają dugości \(2a\), a podstawa ma długość \(a\sqrt{3}\). Kąt \(\alpha\) to kąt między ramionami.
z twierdzenia cosinusów:
\((a\sqrt{3})^2=(2a)^2+(2a)^2-2\cdot2a\cdot2a\cdot\ cos\alpha\\3a^2=8a^2-8a^2cos\alpha\\8a^2cos\alpha=5a^2\\cos\alpha=\frac{5}{8}\)

[irena]

b)

Mamy tutaj trójkąt równoramienny, w którym ramiona to przekątne kwadratu o boku a (\(a\sqrt{2}\)), a podstawa to krótsza przekątna sześciokąta (\(a\sqrt{3}\)).
Kąt \(\beta\) to kąt przy podstawie.
z twierdzenia cosinusów:
\((a\sqrt{2})^2=(a\sqrt{3})^2+(a\sqrt{2})^2-2a^2\sqrt{6}cos\beta\\2a^2cos\beta=3a^2\\cos\beta=\frac{3}{2\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{6}}{4}\)

[irena]

c)

Tutaj jest trójkąt równoramienny, w którym ramiona to krótsza przekątna graniastosłupa (\(2a\)), dłuższa przekątna sześciokąta (\(2a\)), a podstawa to przekątna kwadratu (\(a\sqrt{2}\)).
Kąt \(\gamma\) to kąt między ramionami.
Z twierdzenia cosinusów:
\((a\sqrt{2})^2=4a^2+4a^2-8a^2cos\gamma\\8a^2cos\gamma=6a^2\\cos\gamma=\frac{3}{4}\)

[jaszczurkaa05]

Próbuję robić to zadanie sposobem bez uzywania twierdzenia cosinusów i wychodzą zupełnie inne wyniki.
np. w przypadku kąta alfa: boki obliczam tak samo jak w rozwiązaniu powyżej, a dalej prowadzę wyskość dzieląc kąt alfa na polowe bliczam sinus połowy kąta alfa mnoże razy dwa i wychodzi, ze alfa to 60 stopni.
Bardzo proszę o szybkie wytłumaczenie

[irena]

Ale to nie jest tak, że \(sin\alpha=2\cdot sin(\frac{\alpha}{2})\)

Tutaj
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{3}}{4}\\\frac{\alpha}{2}\neq30^0\\sin30^0=\frac{1}{2}\)

[irena]

Można tu obliczyć
\(cos\alpha=1-2sin^2(\frac{\alpha}{2})=1-2\cdot\frac{3}{16}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}\)

[crystalcorax]

Jak zamieniać te np \frac{5}{8} na stopnie??

[94Chelsea]

A jak można obliczyć podpunkt b i c nie używając twierdzeń cosinusów (bo tego jeszcze nie miałam)?