Ciągłość funkcji

[kasiaak]

Witam, mam problem z jednym zadaniem, a mianowicie: zbadaj ciagłość następującej funkcji:
\(f(x)=\begin{cases}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}\ dla\ x\neq-1\\-1\ dla\ x=-1 \end{cases}\)

dla x0= -1 wyszło mi tak:
\(f(-1)=0\)

\(\lim_{x\to -1^+}\ f(x)=0\)

\(\lim_{x\to -1^-} \ f(x)=+\infty\)

z czego chyba wynika że funkcja nie jest ciągła natomiast w odpowiedzi mam: Funkcja f jest ciągła dla \(\ x\in\ R\)

[irena]

Wartość f(-1)=0 ? Sprawdź zapis
\(\lim_{x\to-1_-}(x+1)^2=\lim_{x\to-1_+}(x+1)^2=0_+\)


\(\lim_{x\to-1_-}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}=\lim_{x\to-1_+}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}=0\)

[chris_f]

Źle policzyłaś granicę przy \(x\to-1^-\). Też wyjdzie zero. A poza tym chyba wartość funkcji w \(-1\) powinna we wzorze wynosić \(0\), bo poniżej piszesz, że \(f(-1)=0\), a we wzorze masz \(-1\).

[radagast]

Witam, mam problem z jednym zadaniem, a mianowicie: zbadaj ciagłość następującej funkcji:
\(f(x)=\begin{cases}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}\ dla\ x\neq-1\\-1\ dla\ x=-1 \end{cases}\)

dla x0= -1 wyszło mi tak:
\(f(-1)=0\)

\(\lim_{x\to -1^+}\ f(x)=0\)

\(\lim_{x\to -1^-} \ f(x)=+\infty\)

z czego chyba wynika że funkcja nie jest ciągła natomiast w odpowiedzi mam: Funkcja f jest ciągła dla \(\ x\in\ R\)

\(f(-1)=1\)

\(\lim_{x\to -1^+}\ f(x)= \lim_{x\to -1^+} e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}=e^{- \infty }=0\)

\(\lim_{x\to -1^-}\ f(x)= \lim_{x\to -1^-} e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}=e^{- \infty }=0\)

wiec faktycznie nie jest ciągła . Ale nieciągłość jest t.zw usuwalna i przypuszczam , ze wynika z Twojej pomyłki w przepisywaniu zadania

[kasiaak]

Racja, zrobiłam błąd przy przepisywaniu, tak jest poprawnie:
\(f(x)=\begin{cases}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}\ dla\ x\neq-1\\0\ dla\ x=-1 \end{cases}\)

Czy mógłby mi ktoś w takim razie wytlumaczyć dlaczego \(\lim_{x\to -1^+}\ f(x)=\lim_{x\to -1^+}\ f(x)=0\)

[irena]

\(\lim_{x\to-1_-}(x+1)^2=\lim_{x\to-1_+}(x+1)^2=0_+\)


\(\lim_{x\to-1_-}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}=\lim_{x\to-1_+}e^{\frac{-1}{(x+1)^2}}=e^{\frac{-1}{0_+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0\)

[kasiaak]

dziękuje bardzo