Dziedzina, asymptoty, monotonicznosć.

[shesfreaky]

1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji : \(F(x)= \sqrt{ \frac{x-1}{3-x} } + ln(2x-3)arcsin(x-1)\)

2. Znaleźć asymptoty: \(F(x)= \frac{x}{2}- \frac{2}{x}\)

3. Zbadać monotoniczność: F(x) = 2x + ln(x-1)

[jola]

zad 1
\(\begin{cases} \frac{x-1}{3-x} \ge 0\ \ \ \Rightarrow \ \ x \in <1;3)\\ 3-x \neq 0\ \ \Rightarrow \ \ x \neq 3\\ 2x-3>0\ \ \Rightarrow \ \ x \in ( \frac{3}{2};+ \infty )\\ -1 \le x-1 \le 1\ \ \Rightarrow \ \ \ x \in <0;2> \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ D_f=< \frac{3}{2};2>\)

[jola]

zad 2
\(f(x)= \frac{x}{2}- \frac{2}{x}= \frac{x^2-2}{2x} \ \ \Rightarrow \ \ D_f=(- \infty ;0) \cup (0;+ \infty )\)

\(\begin{cases} \lim_{x\to 0^+} f(x)= \lim_{x\to 0^+} \frac{x^2-4}{2x}=- \infty \\ \lim_{x\to 0^-} f(x)= \lim_{x\to 0^-} \frac{x^2-4}{2x}=+ \infty \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \\)prosta o równaniu x=0\ jest asymptotą pionową obustronną

\(\lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{f(x)}{x}\ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{x^2-4}{2x^2}\ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{1- \frac{4}{x^2} }{2}= \frac{1}{2} =a\)

\(\lim_{x\to \pm \infty } [f(x)-ax]= \lim_{x\to \pm \infty } ( \frac{x^2-4}{2x} - \frac{x}{2})= \lim_{x\to \infty } \frac{-4}{2x} =0=b\)

prosta o równaniu \(y= \frac{1}{2}x\\)jest asymptotą ukośną obustronną

[jola]

zad 3
\(f(x)=2x+ln (x-1)\ \ \ \Rightarrow \ \ D_f=(1;+ \infty )\)

\(f'(x)=2+ \frac{1}{x-1}= \frac{2x-1}{x-1} \ \ \Rightarrow \ \ D_{f'}=(1;+ \infty )\)

\(\begin{cases} f'(x)>0\\ x \in (1;+ \infty )\end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ \ x \in ( 1;+ \infty )\ \ \ \Rightarrow \ \ dla\ x \in ( 1;+ \infty ) \\)funkcja jest rosnąca

[shesfreaky]

dziękuję bardzo. Czy mógłby mi ktoś jeszcze pomóc jak się wpisuje ułamek jako potęgę? coś nie chce mi to wyjść;/

[anka]

o taki zapis chodzi:
\(( \frac{a}{b} )^n\)
?

Kod: Zaznacz cały

[tex]( \frac{a}{b} )^n[/tex]

[sytams]

dziękuję bardzo. Czy mógłby mi ktoś jeszcze pomóc jak się wpisuje ułamek jako potęgę? coś nie chce mi to wyjść;/

tex] - e^{ \frac{1}{2} } <-- znak ^ i nawiasy co się chcę w nich włożyć - {}

[sytams]

[quote="jola"]zad 2
\(f(x)= \frac{x}{2}- \frac{2}{x}= \frac{x^2-2}{2x}\)

nie powinno być \(\frac{x}{2}- \frac{2}{x}= \frac{x^2-4}{2x}\) ??

[jola]

Masz rację. Poprawiłam. Przepraszam

[shesfreaky]

nie wychodzi mi ten ułamek w potędze właśnie tak próbuję ;/

[shesfreaky]

ok mam:)