Pytanie teoretyczne - różniczkowalność f. wielu zmiennych

[Sheppard25]

Witam. Wiem jak się sprawdza różniczkowalność funkcji jednej zmiennej ale jak dwóch? Czy jest tak jak gdzieś przeczytałem:
1. Jeżeli pochodne cząstkowe mają tę samą granicę tzn że funkcja jest różniczkowalna i wsio.
2. Jeżeli nie, to musimy obliczyć pochodną z definicji i sprawdzić czy jest równa wartości funkcji w tym punkcie sklejenia - jeśli tak to funkcja jest różniczkowalna.

No i czy tę granicę dla pochodnych cząstkowych się oblicza za pomocą podstawienia biegunowego?

[octahedron]

1. Jeśli pochodne cząstkowe są ciągłe w jakimś punkcie, to funkcja jest w nim różniczkowalna. Natomiast granice (czyli również wartości) tych pochodnych nie muszą być równe.
2. Tutaj nie rozumiem o co chodzi - o jaki punkt sklejenia chodzi ? I nie wiem, po co mamy porównywać funkcję z jej pochodną.
3. Tak, w niektórych przypadkach współrzędne biegunowe są wygodniejsze, ale to zależy właśnie od konkretnego przypadku.

[Sheppard25]

No to w takim razie cała moja koncepcja upadła. Więc mając zadanie zbadaj różniczkowalność funkcji wielu zmiennych od czego mam zacząć i jak takie coś rozwiązać? Punkt sklejenia to punkt w którym zmienia się wzór funkcji np.

\(f(x) = x dla x<=0
f(x) = x^{2} dla x>0\)
punkt sklejenia to 0. Akurat tutaj to x = 0 (to odnośnie tego punktu sklejenia - co to jest)

[octahedron]

Ale to jest funkcja jednej zmiennej, a pytałeś o funkcje wielu zmiennych. Czy to jest na pewno ten przykład?

[Sheppard25]

Ten przykład miał tylko zilustrować o co mi chodziło z punktem sklejenia bo tam nie wiedziałeś. A oczywiście sprawdzać różniczkowalność chcę funkcji wielu zmiennych.

[octahedron]

Wiem co to jest punkt sklejenia , tylko nie wiedziałem, co to ma wspólnego z tym, że jest więcej niż jedna zmienna.

[Sheppard25]

Ok to przepraszam, nie zrozumieliśmy się. W takim razie wracając do głównego wątku, jak się zabrać za wyznaczanie czy funkcja jest różniczkowalna? Dajmy na to, na takim przykładzie

\(\frac{x^{y}y+x^{2}}{xy}\ dla\ (x,y)\ne(0,0)
1\ dla\ (x,y) = (0,0)\)

Albo nawet bez rozw. tego przykładu tylko wytłumaczcie dokładnie jak

[octahedron]

\(\frac{x^yy+x^2}{xy}=x^{y-1}+\frac{x}{y}\)
Najpierw sprawdzamy ciągłość:
\(x_n=\frac{2}{n}
y_n=\frac{1}{n}
\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=0
\lim_{n\to\infty}x_n^{y_n-1}+\frac{x_n}{y_n}=0^{-1}+2=2\ne 1=f(0,0)\)

Funkcja nie jest ciągła, więc nie jest różniczkowalna.

[Sheppard25]

No dobrze dziękuję ale pamiętaj że ja nie bardzo wiem jak się tę różniczkowalność sprawdza. Co zrobiłeś? Skąd te ciągi?

[octahedron]

Na razie to nie jest różniczkowalność, sprawdzamy ciągłość. Konkretnie z definicji Heinego. Wybieram ciąg \((x_n,y_n)\) zbieżny do punktu \((0,0)\) i liczę granicę. Wychodzi inna niż wartość funkcji w punkcie, więc funkcja nie jest ciagła, a tym bardziej różniczkowalna.

[Sheppard25]

jak wybierasz, skąd po co, czemu akurat takie a nie inne? To jedyna metoda?

[octahedron]

Wybieram na oko, to kwestia wprawy. Pokazuję, że dla granica według definicji Heinego dla pewnego ciagu jest inna niż wartość funkcji, czyli jest nieciągła. Metod jest wiele, zależy od konkretnego przypadku, uniwersalnej regułki niestety nie ma.

[Sheppard25]

A czy dałoby się to sprawdzić za pomocą pochodnych cząstkowych/definicji?

[octahedron]

Jak pisałem wyżej, jeśli pochodne cząstkowe są ciągłe w jakimś punkcie, to funkcja jest w nim różniczkowalna. Samo istnienie pochodnych cząstkowych to za mało. Jeśli funkcja jest nieciągła, lub któraś jej pochodna cząstkowa albo kierunkowa nie istnieje, to różniczkowalna nie jest.