pochodne

[daria1003]

1.Obliczyć pochodne funkcji:
a) \((3x+4)^3 \cdot log_3(1-5x)\)
b)\(\frac{e^x}{1+x^2}\)


2.Obliczyć pochodne funkcji korzystając z zależności \(a^b=e^{blna}\) dla a>0
a)\(x^x\)
b)\((sinx)^{cosx}\)
c)\(x^{lnx}\)

3.Czy w punkcie x=0 funkcja f(x)=x-arctgx osiąga minimum lokalne? Dlaczego?

[rayman]

1b.\(\(\frac{e^x}{1+x^2}\)^{\prim}=\frac{(e^x)^{\prim}(1+x^2)-(e^{x}(1+x^2)^{\prim})}{(1+x^2)^2}=\frac{e^x(1+x^2-2x)}{(1+x^2)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}\)

[rayman]

1a.\((3x+4)^{3})^{\prim}=3(3x+4)^2\cdot 3=9(3x+4)^2\)
natomiast
\(((log_{3}(1-5x))^{\prim}=\frac{1}{(1-5x)log3}\cdot (-5)=-\frac{5}{(1-5x)log3}\)
ostatecznie
\(((3x+4)^{3}log_{3}(1-5x))^{\prim}=(9(3x+4)^2)(log_{3}(1-5x))+((3x+4)^{3})(-\frac{5}{(1-5x)log3})\)
gdzie korzystasz ze wzoru na pochodna iloczynu
\((f(x)g(x))^{\prim}=f(x)^{\prim}g(x)+f(x)g(x)^{\prim}\)

[daria1003]

Dzięki, a mógłbyś mi powiedzieć jeszcze
\(3(3x+4)^2 \cdot 3\) skąd wzięła się ta 3 na końcu?

[rayman]

z pochodnej funkcji zlozonej, ze zrozniczkowania \(3x\)
\(((3x+4)^3)^{\prim}=3(3x+4)^2\) ale jeszcze musisz zrozniczkowac funkcje wewnetrzna czyli \((3x+4)^{\prim}=3\) zatem \(((3x+4)^3)^{\prim}=3(3x+4)^2\cdot 3\)
taka sama zasada obowiazuje np w funkcji z logarytmem, tam tez obliczamy pochodna funkcji wewnetrznej.

np dla przykladu
2a. \(((x)^{x})^{\prim}=(e^{xlnx})^{\prim}\)
wiec pochodna \((e^{xlnx})^{\prim}=e^{xlnx}\) ale musisz pamietac o zrozniczkowaniu funkcji wewnetrznej ktora jest w tym wypadku \(xlnx\) zatem ostatecznie bedziesz miec \((e^{xlnx})^{\prim}=e^{xlnx}\cdot (lnx+1)=x^{x}(lnx+1)\)
gdzie \((xlnx)^{\prim}=1\cdot lnx+x\frac{1}{x}=lnx+1\)

[rayman]

2b.
\(((sinx)^{cosx}))^{\prim}=(e^{cosxln(sinx)})^{\prim}=e^{cosxln(sinx)}(-sinxln(sinx)+cosx\frac{cosx}{sinx})=
((sinx)^{cosx})(ctgx-sinxln(sinx)\)
gdzie pochodna funkcji wewnetrznej \(cosxln(sinx)=-sinxln(sinx)+cosx\frac{cosx}{sinx}=-sinxln(sinx)+cosx ctgx\)