udowodnij, jezeli x + y + z = 1 to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}\)
nie moge wpasc jak tego dowiesc \(\ge\)
z gory dziekuje
dowód...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
\(x+y+z=1\\
(x+y+z)^2=1^2\\
(x+y+z)^2=1\)
\(x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}\\
3(x^2 + y^2 + z^2)\ge 1\\
3(x^2 + y^2 + z^2)\ge (x+y+z)^2\\
3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\\
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz \ge 0\\
(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2 \ge 0\)
suma kwadratów liczb jest zawsze większa lub równa 0.
(x+y+z)^2=1^2\\
(x+y+z)^2=1\)
\(x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}\\
3(x^2 + y^2 + z^2)\ge 1\\
3(x^2 + y^2 + z^2)\ge (x+y+z)^2\\
3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\\
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz \ge 0\\
(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2 \ge 0\)
suma kwadratów liczb jest zawsze większa lub równa 0.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.