znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni lin(...)

[oksytocyna12]

Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni lin([1,1,1,1],[3,3,1,1],[7,5,3,1])
Sprawdzam czy układ jest bazą: ... no właśnie sprawdzało się wyznacznik czy jest różny od zera, ale której macierzy ? w tej ?:\(\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\3&3&1&1\\7&5&3&1\end{bmatrix}\)
\(V_{1}= \frac{[1,1,1,1]}{ \sqrt{ 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}} }= \frac{1}{2}[1,1,1,1]\)
\(V_{2}^{'}=[3,3,1,1]-< \frac{1}{2}[1,1,1,1],[3,3,1,1] > \cdot \frac{1}{2}[1,1,1,1]=[3,3,1,1]-2[1,1,1,1]=[1,1,-1,-1]\)
\(Spr. V_{2}^{'}V_{1}=( \frac{1}{2}[1,1,1,1],[1,1,-1,-1])=0...itd\)

Jak jest liczone \(V_{2}^{'}\) bo coś mi nie nie chce wyjść to: \(...[3,3,1,1]-2[1,1,1,1]...\)

[octahedron]

Wyznacznik można policzyć tylko dla macierzy kwadratowej, tutaj metoda eliminacji Gaussa:
\(\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\3&3&1&1\\7&5&3&1\end{bmatrix}\ w_2-3w_1
\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&0&-2&-2\\7&5&3&1\end{bmatrix}\ w_3-7w_1
\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&0&-2&-2\\0&-2&-4&-6\end{bmatrix}\)

i jak widać wiersze są liniowo niezależne, czyli mamy bazę. Dalej jest dobrze, w czym właściwie jest problem ?

[oksytocyna12]

Nie wiem jak jest liczone \(V_{2}^{'}\) ...

[octahedron]

To iloczyn skalarny:
\(\(\frac{1}{2}[1,1,1,1]\cdot[3,3,1,1]\)\cdot\frac{1}{2}[1,1,1,1]=\frac{1}{2}(1\cdot 3+1\cdot 3+1\cdot 1+1\cdot 1)\cdot\frac{1}{2}[1,1,1,1]=4\cdot\frac{1}{2}[1,1,1,1]=2[1,1,1,1]\)

a ogólnie to metoda Grama-Schmidta