Rozwiąż równania różniczkowe

[zaq12wsx0]

1) \((y-2x) \frac{dy}{dx}=2y+x\)
2)\(\frac{dy}{dx}= \frac{2x^2-xy}{x^2-xy+y^2}\)

[octahedron]

1.
\((y-2x) \frac{dy}{dx}-2y-x=0
\frac{\partial}{\partial x}(y-2x)=-2=\frac{\partial}{\partial y}(-2y-x)\)

czyli równanie zupełne

\(F(x,y)=\int y-2x\,dy=\frac{1}{2}y^2-2xy+C(x)
\frac{\partial}{\partial x}F(x,y)=-2y-x
-2y+C'(x)=-2y-x
C'(x)=-x
C(x)=-\frac{1}{2}x^2+C
F(x,y)=\frac{1}{2}y^2-2xy-\frac{1}{2}x^2+C
\fbox{\frac{1}{2}y^2-2xy-\frac{1}{2}x^2=C}\)

[octahedron]

2. Równanie jednorodne
\(y=ux
y'=u'x+u
u'x+u= \frac{2x^2-x^2u}{x^2-x^2u+x^2u^2}= \frac{2-u}{1-u+u^2}
u'x=\frac{2-u}{1-u+u^2}-u=\frac{(2+u^2)(1-u)}{1-u+u^2}
\int\frac{1-u+u^2}{(2+u^2)(1-u)}\,du=\int\frac{dx}{x}
\int-\frac{1}{3(u-1)}-\frac{2u}{3(u^2+2)}+\frac{1}{3(u^2+2)}\,du=\ln|x|+C
-\frac{1}{3}\ln|u-1|-\frac{1}{3}\ln|u^2+2|+\frac{1}{3\sqrt{2}}\mbox{arctg}\(\frac{u}{\sqrt{2}}\)=\ln|x|+C
\fbox{\frac{1}{\sqrt{2}}\mbox{arctg}\(\frac{y}{x\sqrt{2}}\)-\ln\|\frac{(y-x)(y^2+2x^2)}{x^6}\|=C}\)

Może da się prościej, ale nie mam innego pomysłu