\(1) \int_{}^{} \frac{dx}{sin^2x}
2) \int_{}^{} \frac{dx}{sin2x}\)
od wykładowcy słyszałem żeby pod zmienną t podstawić \(tg \frac{x}{2}\) tylko nie mogę rozgryźć dlaczego :/
Całki poraz setny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Bo to takie uniwersalne podstawienie dla całek trygonometrycznych. Nie zawsze jednak jest najlepsze:
\(\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int (-\mbox{ctg}x)'\,dx=-\mbox{ctg}x+C
\int\frac{dx}{\sin 2x}=\int\frac{\sin 2x}{\sin^2 2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\frac{(\cos 2x)'}{1-\cos^2 2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t^2}\,dt\)
\(\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int (-\mbox{ctg}x)'\,dx=-\mbox{ctg}x+C
\int\frac{dx}{\sin 2x}=\int\frac{\sin 2x}{\sin^2 2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\frac{(\cos 2x)'}{1-\cos^2 2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t^2}\,dt\)
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
\(1)
\int \frac{dx}{sin^2x}=\int \frac{ \left(tg^2 \frac{x}{2} +1 \right)^2 }{4tg^2 \frac{x}{2} }dx= \left( tg \frac{x}{2} =t\\x=2arctgt\\dx= \frac{2dt}{1+t^2} \right)=\int \frac{ \left(t^2 +1 \right)^2 }{4t^2}\frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{ t^2 +1 }{2t^2}dt= \frac{1}{2} \int 1+ \frac{1}{t^2} dt= \frac{1}{2}t- \frac{1}{2t}+C=
\frac{1}{2} tg \frac{x}{2}- \frac{1}{2 tg \frac{x}{2}}+C= \frac{sin {\frac{x}{2}} }{2cos { \frac{x}{2}} }-\frac{cos {\frac{x}{2}} }{2sin { \frac{x}{2}} }= \frac{2sin^2{ \frac{x}{2}}-2cos^2{ \frac{x}{2}}}{4sin{ \frac{x}{2}}cos{ \frac{x}{2}}} = \frac{sin^2{ \frac{x}{2}}-cos^2{ \frac{x}{2}}}{2sin{ \frac{x}{2}}cos{ \frac{x}{2}}}=\frac{sin^2{ \frac{x}{2}}-cos^2{ \frac{x}{2}}}{2sin{ \frac{x}{2}}cos{ \frac{x}{2}}}= \frac{-cosx}{sinx}=-ctgx\)
Gościu chciał zebyscie sobie poćwiczyli standardowe podstawienie dla funkcji trygonometrycznych. Ale sensu to ono tu nie ma...
Jedyne słuszne dla tej całki postępowanie to takie jakie zastosował Octaedron. Z tą drugą jest podobnie
\int \frac{dx}{sin^2x}=\int \frac{ \left(tg^2 \frac{x}{2} +1 \right)^2 }{4tg^2 \frac{x}{2} }dx= \left( tg \frac{x}{2} =t\\x=2arctgt\\dx= \frac{2dt}{1+t^2} \right)=\int \frac{ \left(t^2 +1 \right)^2 }{4t^2}\frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{ t^2 +1 }{2t^2}dt= \frac{1}{2} \int 1+ \frac{1}{t^2} dt= \frac{1}{2}t- \frac{1}{2t}+C=
\frac{1}{2} tg \frac{x}{2}- \frac{1}{2 tg \frac{x}{2}}+C= \frac{sin {\frac{x}{2}} }{2cos { \frac{x}{2}} }-\frac{cos {\frac{x}{2}} }{2sin { \frac{x}{2}} }= \frac{2sin^2{ \frac{x}{2}}-2cos^2{ \frac{x}{2}}}{4sin{ \frac{x}{2}}cos{ \frac{x}{2}}} = \frac{sin^2{ \frac{x}{2}}-cos^2{ \frac{x}{2}}}{2sin{ \frac{x}{2}}cos{ \frac{x}{2}}}=\frac{sin^2{ \frac{x}{2}}-cos^2{ \frac{x}{2}}}{2sin{ \frac{x}{2}}cos{ \frac{x}{2}}}= \frac{-cosx}{sinx}=-ctgx\)
Gościu chciał zebyscie sobie poćwiczyli standardowe podstawienie dla funkcji trygonometrycznych. Ale sensu to ono tu nie ma...
Jedyne słuszne dla tej całki postępowanie to takie jakie zastosował Octaedron. Z tą drugą jest podobnie
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Ogólnie to jest tak:
\(t=tg\frac{x}{2}
x=2\mbox{arctg}t
\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2tg\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}
\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+tg^2\frac{x}{2}}-1=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt\)
i to sprawdza zawsze, ale niekoniecznie jest najprościej.
\(t=tg\frac{x}{2}
x=2\mbox{arctg}t
\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2tg\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}
\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+tg^2\frac{x}{2}}-1=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt\)
i to sprawdza zawsze, ale niekoniecznie jest najprościej.