Rzucamy kostką, aż wypadnie 6

[melon]

Niech X oznacza czas oczekiwania na wyrzucenie szóstki przy rzucie kostką. Oblicz \(P(X=k)\) dla \(k=1,2,3,...\).

Obliczyłem ze schematu Bernoulliego, wyszło \(P(X=k)= {k \choose 1} \frac{1}{6^{k-1}} \cdot \frac{5}{6}\), ale w odpowiedziach jest inaczej, bez tego k na początku...

[irena]

Weź przykład:
niech k=3
Oznacza to, że w pierwszych dwóch rzutach masz inną liczbę oczek, a w trzecim rzucie 6.
\(P(X=3)=(\frac{5}{6})^2\cdot\frac{1}{6}=\frac{5^2}{6^3}\)

Według mnie powinno być
\(P(X=k)=\frac{5^{k-1}}{6^k}\)

Albo ja czegoś nie rozumiem...

[melon]

No właśnie tyle powinno wyjść, bo w odpowiedziach jest \(\left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}\), czyli tak jak schemat Bernoulliego \({n \choose k } p^k (1-p)^{n-k}\) bez tego \({n \choose k }\) na początku. I właśnie nie wiem, czemu nie można tutaj skorzystać z schematu Bernoulliego, bo wtedy by wyszło \(k \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}\)...

[Galen]

W Twojej propozycji jest k doświadczeń i wśród nich jeden sukces,ale to może być sukces w pierwszym,lub drugim,lub...k-tym doświadczeniu...
W zadaniu interesuje nas tylko sytuacja,że sukces jest w k-tym doświadczeniu,czyli chodzi o \(\frac{1}{k}\) z liczby
jaką otrzymasz ze schematu Bernoulliego.
Sukces w pierwszym rzucie ma p=1/6
Sukces w drugim rzucie ma \(p=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\)
sukces w trecim rzucie :\(p=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\)
.....itd....
sUkces w k-tym rzucie ma prawdopodob.\(p=(\frac{5}{6})^{k-1}\cdot \frac{1}{6}\)

[melon]

Wracając do tego zadania, jak obliczyć prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie najpóźniej w trzecim rzucie?

Według mnie to jest równe
\(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)= \left( \frac{5}{6} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{6}+\left( \frac{5}{6} \right)^0 \cdot \frac{1}{6}+\left( \frac{5}{6} \right)^1 \cdot \frac{1}{6}+\left( \frac{5}{6} \right)^2 \cdot \frac{1}{6}\)
ale wynik się nie zgadza

[Galen]

Czyli w pierwszym ,drugim lub trzecim
\(P(A)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=...\)