Rozwiąż równania różniczkowe przy pomocy podstawienia
a)
podstawić \(y'=y \cdot u(x)\)
\(y \cdot y''-(y') ^{2} =0\)
b) podstawić \(y _{x} '=u(y(x))\)
\(y \cdot y''=(y') ^{2}\)
c) podstawić \(y=e ^{z(x)}\)
\(y \cdot y''=(y') ^{2}\)
Przepraszam, że tak męcze, ale jestem zielony w tym temacie i miałbym prośbę, aby rozwiązać to krok po kroku. Dzięki z góry
Równania różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
Re: Równania różniczkowe
b) \((*)\ y\cdot y''=(y')^2\)
\((**)\ y'=u(y(x))\\
y''=u'\cdot y'=u'\cdot u\)
podstawiamy y' i y'' do (*):
\(y\cdot u'\cdot u=u^2\\
u'\cdot y=u\\
\frac{du}{dy} y=u\\
\frac y{dy}=\frac u{du}\\
\frac{dy}y=\frac{du}u\\
\ln u = \ln y + c\\
u=y\cdot e^c\\
u=y\cdot c_1\)
wracamy z u do (**):
\(y'=y\cdot c_1\\
\frac{dy}{dx}=y\cdot c_1\\
\frac{dy}y=c_1dx\\
\ln y=c_1x+C\\
y=e^{c_1x}\cdot e^C\\
y=e^{c_1x}\cdot c_2\)
\((**)\ y'=u(y(x))\\
y''=u'\cdot y'=u'\cdot u\)
podstawiamy y' i y'' do (*):
\(y\cdot u'\cdot u=u^2\\
u'\cdot y=u\\
\frac{du}{dy} y=u\\
\frac y{dy}=\frac u{du}\\
\frac{dy}y=\frac{du}u\\
\ln u = \ln y + c\\
u=y\cdot e^c\\
u=y\cdot c_1\)
wracamy z u do (**):
\(y'=y\cdot c_1\\
\frac{dy}{dx}=y\cdot c_1\\
\frac{dy}y=c_1dx\\
\ln y=c_1x+C\\
y=e^{c_1x}\cdot e^C\\
y=e^{c_1x}\cdot c_2\)