granica (łatwa)

[MrVonzky]

jak policzyć granicę, bo zapomniało mi się:

\(\lim_{x\to \infty } \frac{sinx}{x}\)

no i \(\lim_{x\to \infty } (\frac{3x+2}{2x+1})^{3x^2}\)

[patryk00714]

\(\lim_{x\to \infty } \frac{sinx}{x}=0\) bo licznik przybiera warotości od \(\left\langle-1,1 \right\rangle\), a mianownik rośnie i rośnie i rośnie stąd 0

[radagast]

\(\lim_{x\to \infty } (\frac{3x+2}{2x+1})^{3x^2}= \left( \frac{3}{2} \right) ^ \infty = \infty\)

[MrVonzky]

a drugie da się zrobić z wykorzystaniem "e"?

[patryk00714]

tak, za moment będzie

[radagast]

Patryk, ale zanim wyślesz to przemyśl

[patryk00714]

\(\lim_{x\to \infty }(1+ \frac{1}{ \frac{2x+1}{x+1} })^{3x^2}= \lim_{x\to \infty } [ [(1+ \frac{1}{ \frac{2x+1}{x+1} })^{ \frac{2x+1}{x+1}}]^{ \frac{x+1}{2x+1}}]^{3x^2}= \lim_{x\to \infty } e^{ \frac{3x^3+3x^2}{2x+1}= e^ \infty= \infty\)

[patryk00714]

oho, czyżby jakiś haczyk? P.S trochę formuła się zepsuła, ale chyba wiadomo o co chodzi

[radagast]

No i to warto tak ?

[patryk00714]

oczywiście, że nie spełniam tylko prośbę autora postu pozdrawiam

[MrVonzky]

dzięki wielkie

[Crazy Driver]

To ja dorzucę bardziej eleganckie uzasadnienie pierwszej granicy, na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach (odpowiednik twierdzenia o trzech ciągach):

\(\forall x\in\mathbb{R}\setminus \left\{0 \right\} \quad - \frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}\), a ponadto \(\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\), więc z twierdzenia o trzech funkcjach \(\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0\)