1. \(\int\frac{ \sqrt{1-4x-x^2} }{x-1} dx\)
2. \(\int \sqrt[2]{ \frac{x+1}{x-1}dx }\)
3. \(\int_{1}^{ \frac{1}{2} } \frac{arcsinx}{x^2} dx\)
całki.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
3.
\(\int \frac{arcsinx}{x^2} dx=-\int \left( \frac{1}{x} \right) 'arcsinxdx=- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{1}{ x\sqrt{1-x^2} } dx= \left( 1-x^2=t^2\\x= \sqrt{1-t^2} \\ \frac{dx}{dt}= \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}} \right)=
- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{1}{t \sqrt{1-t^2} } \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}} =
- \frac{1}{x}arcsinx-\int \frac{dt}{1-t^2}=
- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{dt}{(t-1)(1+t)}=
- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{dt}{2(t-1)}-\int \frac{dt}{2(t+1)} =
- \frac{1}{x}arcsinx+ \frac{1}{2}ln|t-1| -\frac{1}{2}ln|t+1|+C =
- \frac{1}{x}arcsinx+ \frac{1}{2}ln \frac{|t-1| }{|t+1| } +C =
- \frac{1}{x}arcsinx+ \frac{1}{2}ln \frac{| \sqrt{1-x^2} -1| }{|\sqrt{1-x^2}+1| } +C\)
No to teraz jak jest już pierwotna można policzyć całkę oznaczoną
\(\int \frac{arcsinx}{x^2} dx=-\int \left( \frac{1}{x} \right) 'arcsinxdx=- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{1}{ x\sqrt{1-x^2} } dx= \left( 1-x^2=t^2\\x= \sqrt{1-t^2} \\ \frac{dx}{dt}= \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}} \right)=
- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{1}{t \sqrt{1-t^2} } \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}} =
- \frac{1}{x}arcsinx-\int \frac{dt}{1-t^2}=
- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{dt}{(t-1)(1+t)}=
- \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{dt}{2(t-1)}-\int \frac{dt}{2(t+1)} =
- \frac{1}{x}arcsinx+ \frac{1}{2}ln|t-1| -\frac{1}{2}ln|t+1|+C =
- \frac{1}{x}arcsinx+ \frac{1}{2}ln \frac{|t-1| }{|t+1| } +C =
- \frac{1}{x}arcsinx+ \frac{1}{2}ln \frac{| \sqrt{1-x^2} -1| }{|\sqrt{1-x^2}+1| } +C\)
No to teraz jak jest już pierwotna można policzyć całkę oznaczoną
-
Crazy Driver
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: całki.
2. \(\int \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,dx=\int \frac{x+1}{\sqrt{(x+1)(x-1)}}\,dx\)
\(\int \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,dx\)
\(t=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\)
\(t^2=\frac{x+1}{x-1}\)
\(x= \frac{t^2+1}{t^2-1}\)
\(dx=- \frac{4t}{(t^2-1)^2}\,dt\)
\(\int \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,dx=\int- \frac{4t^2}{(t^2-1)^2}\,dt\)
Została dość prosta całka wymierna.
3. http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=32389
\(\int \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,dx\)
\(t=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\)
\(t^2=\frac{x+1}{x-1}\)
\(x= \frac{t^2+1}{t^2-1}\)
\(dx=- \frac{4t}{(t^2-1)^2}\,dt\)
\(\int \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,dx=\int- \frac{4t^2}{(t^2-1)^2}\,dt\)
Została dość prosta całka wymierna.
3. http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=32389
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv