granica funkcji

[ania2132]

Oblicz granice
lim x [ ((1+1/x)^x ) - e]
x--> nieskończoności

Niestety nie potrafię posługiwać się Latexem... ;(

[Galen]

\(\lim_{x\to \infty }[(1+ \frac{1}{x})^x-e]=e-e=0\)

\(\lim_{\to \infty}x \cdot [(1+ \frac{1}{x})^x-e] = \lim_{x\to \infty } \frac{(1+ \frac{1}{x})^x-e }{ \frac{1}{x} }=( \frac{0}{0})\)

Czy ten x ma być przed nawiasem?

[ania2132]

Tam przed nawiasem kwadratowym jest jeszcze "x"

[ania2132]

Tak. Teraz już dobrze jest zapisane

[radagast]

\(\lim_{x \to \infty}x \cdot [(1+ \frac{1}{x})^x-e] = \lim_{x\to \infty } \frac{(1+ \frac{1}{x})^x-e }{ \frac{1}{x} }=^H\lim_{x\to \infty } \frac{(1+ \frac{1}{x})^x \left(ln(1+ \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1} \right) }{ -\frac{1}{x^2} }=
-\lim_{x\to \infty }(1+ \frac{1}{x})^x \cdot \lim_{x\to \infty } \frac{ln(1+ \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1} }{ \frac{1}{x^2} }=-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{ln(1+ \frac{1}{x})^x - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }=-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{1 - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }=-e\cdot \lim_{x\to \infty } x - \frac{x^2}{x+1}=
-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{x^2+x-x^2}{x+1}=-e\)

[ania2132]

W odpowiedziach jest -e/2 ...

[Crazy Driver]

Błąd jest tutaj:

\(-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{\fbox{ln(1+ \frac{1}{x})^x} - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }=-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{\fbox{1} - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }\)

Rzecz polega na tym, że nie wolno przechodzić do granicy z częścią wyrażenia, a resztę zostawić! Przecież gdyby tak było, moglibyśmy np. policzyć tak:

\(\lim_{x\to+\infty} \left(1+ \frac{1}{x} \right)^x=\lim_{x\to+\infty}(1+0)^x=1\)

Do granicy należy przejść z całym wyrażeniem!

[ania2132]

To jak sobie poradzić z tym przykładem ?

[Crazy Driver]

\(\lim_{x\to \infty } \frac{ln(1+ \frac{1}{x})^x - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }\)

Znów mamy \(\left[ \frac{0}{0} \right]\), więc można ponownie skorzystać z de l'Hospitala, albo zamienić zmienne tak, żeby mieć granicę w 0 i skorzystać z rozwnięcia Taylora wokół 0.

[radagast]

Błąd jest tutaj:

\(-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{\fbox{ln(1+ \frac{1}{x})^x} - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }=-e\cdot \lim_{x\to \infty } \frac{\fbox{1} - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }\)

Rzecz polega na tym, że nie wolno przechodzić do granicy z częścią wyrażenia, a resztę zostawić! Przecież gdyby tak było, moglibyśmy np. policzyć tak:

\(\lim_{x\to+\infty} \left(1+ \frac{1}{x} \right)^x=\lim_{x\to+\infty}(1+0)^x=1\)

Do granicy należy przejść z całym wyrażeniem!

To prawda .....
Zadanie (rozwiązanie) do poprawki. Ale nie chce mi wyjść . Podawany przez Anie wynik jest dobry:

ScreenHunter_236.jpg (18.24 KiB) Przejrzano 551 razy

czerwone to wykres \(y=x \left( \left( 1+ \frac{1}{x} \right)^x-e \right)\)
niebieskie to wykres \(y= -\frac{e}{2}\)

[Crazy Driver]

\(\lim_{x\to \infty } \frac{ln(1+ \frac{1}{x})^x - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }\)

Znów mamy \(\left[ \frac{0}{0} \right]\), więc można ponownie skorzystać z de l'Hospitala, albo zamienić zmienne tak, żeby mieć granicę w 0 i skorzystać z rozwnięcia Taylora wokół 0.

\(t=\frac1x\)

\(\lim_{x\to \infty } \frac{ln(1+ \frac{1}{x})^x - \frac{x}{x+1} }{ \frac{1}{x} }=\lim_{t\to0} \frac{ \frac{\ln(1+t)}{t}+t-1 }{t}=\lim_{t\to0} \frac{ \ln(1+t)+t^2-t }{t^2}\)

Skorzystam z rozwinięcia wielomianu Taylora z resztą Peano wokół 0:

\(\lim_{t\to0} \frac{ \ln(1+t)+t^2-t }{t^2}=\lim_{t\to0} \frac{ t- \frac{t^2}{2}+o\left(t^2\right) +t^2-t }{t^2}=\lim_{t\to0} \frac{ \frac{t^2}{2}+o\left(t^2\right)}{t^2}=\lim_{t\to0}\left(\frac12+\frac{o\left(t^2\right)}{t^2}\right)=\frac12\)