Funkcja dowód

[martaaa7]

Udowodnij że dla dowolnej funkcji f i g, \(f=g\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(dom(f)=dom(g)\) oraz\(f(x)=f(y)\). Proszę o pomoc

[radagast]

A to nie jest definicja ? (Funkcje są równe jeśli mają jednakowe dziedziny i takie same wartości dla każdego argumentu)

[martaaa7]

W książce definicja to
1.\(\bigwedge_z(z \in f \Rightarrow \bigvee_x \bigvee_y\)\(z= \left\langle<x,y> \right\rangle)\)\
2.\(\bigwedge_x\bigwedge_{y_{1}}\bigwedge_{y_{2}}\)\(( \left\langle x,y_{1} \right\rangle \in f \wedge \left\langle x,y_{2} \right\rangle \in f \Rightarrow y_{1}=y_{2})\)

[radagast]

A ty to rozumiesz ? (bo ja nie )

[martaaa7]

Też nie;/

[radagast]

Nie martw się, to się nie da zrozumieć

[escher]

Nie martw się, to się nie da zrozumieć

Nie wiem, czy to jest bardzo pocieszająca wiadomość, ale wydaje się, że to się zrozumieć da, a polecane ćwiczenie jest ćwiczeniem na rozumienie matematycznego formalizmu i formuł z kwantyfikatorami. Nie wiem tylko dlaczego nie są używane międzynarodowe kwantyfikatory.

Podana definicja "mówi", że po pierwsze funkcja jest zbiorem uporządkowanych par (tam zapewne są jakieś jeszcze rzeczy pod kwantyfikatorami, że x jest skądś i y skądinąd). Czyli utożsamiamy funkcję z jej wykresem. Funkcja jest pewną relacją - podzbiorem iloczynu kartezjańskiego.

Druga część definicji wyróżnia funkcje spośród wszystkich relacji - po prostu nie może być dwóch wartości dla tego samego argumentu.

Teraz wiadomo co to są równe funkcje - równe jako zbiory. Należałoby zajrzeć teraz do definicji dom(f), ale to pewnie rzut na pierwszą współrzędną, czyli
\(dom(f)=\left\lbrace x: \bigvee_y <x,y>\in f\right\rbrace\)

Jeśli jako zbiory \(f=g\), to oczywiście
\(dom(f)=dom(g)\)
Aby pokazać, że \(\bigwedge_x f(x)=g(x)\)(uwaga, bo w pytaniu chyba było źle)
należy odwołać się do tego czym jest f(x) i g(x) i być może skorzystać z 2.

Przypuśćmy teraz, że zbiory f i g są różne. Wtedy istnieje jakaś para, która należy do jednego (powiedzmy f), a nie należy do drugiego (powiedzmy g). Oznaczmy ta parę \(<x_0,y_0>\). Wtedy albo \(x_0\not\in dom(g)\), czyli \(dom(f)\neq dom(g)\) albo
\(x_0\in dom(g) \Rightarrow \bigvee y_1 <x_0,y_1>\in g \Rightarrow g(x)=y_1\neq f(x)\).
I to w zasadzie kończy dowód.
escher

[radagast]

Nie martw się, to się nie da zrozumieć

(tam zapewne są jakieś jeszcze rzeczy pod kwantyfikatorami, że x jest skądś i y skądinąd).

Ale ich nie ma ... Zatem twierdzę tak jak poprzednio