Granica funkcji

[longer19]

Oblicz granicę funkcji gdy
\(lim\frac{ \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }
x \to 0\)

[radagast]

\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }=\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{1+ \sqrt{x+1} } \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x+1} }{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x+1} } =

\lim_{x\to 0} \frac{ x^2+1 -x-1 }{1- x-1 } \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{1} \cdot \frac{1 }{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x+1} } =\lim_{x\to 0} \frac{ x^2 -x }{- x } \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x+1} } =

\lim_{x\to 0} (1-x) \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x+1} } = 1 \cdot \frac{2}{2 } =1\)

[irena]

\(\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}=\frac{(x^2+1-x-1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}\cdot\frac{1+\sqrt{x+1}}{1-x-1}=\frac{x^2-x}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}\cdot\frac{1+\sqrt{x+1}}{-x}=\frac{(1-x)(1+\sqrt{x+1})}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}\to_{x\to0}\frac{1\cdot(1+1)}{1+1}=1\)

[longer19]

a jezeli mam taki przyklad to dobrze rozpisałem?
\(lim( \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x^2-1}= \frac{( \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x^2-1})( \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x^2-1}}{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x^2-1}}\)\(x \to 0\)

[irena]

Ale w tym przykładzie nie może być \(x\to0\), bo masz \(\sqrt{x^2-1}\)

[longer19]

Sory, chodzi mi że pod limesem powinno pisać x dąży do 0

[irena]

Zamiana różnicy na iloraz jest dobra, ale tu niepotrzebna, bo
\(\lim_{x\to1}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})=\sqrt{2}-\sqrt{0}=\sqrt{2}\)

[longer19]

Przepraszam, pomyliłem się gdyż\(x \to 0\)

[irena]

Ale w tym przykładzie nie może być \(x\to0\), bo masz \(\sqrt{x^2-1}\)

Przeczytałeś?

[longer19]

Ale właśnie ja mam tak w tym przykładzie napisane,więc najwyraźniej musi być bład w zadaniu, dzięki za odp