ekstrema

[malineczka8888]

Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności:
a)\(\frac{x^2+2x+4}{x+2}+ \frac{8}{x^2-4}\)
b)\(x \sqrt{16-x^2}\)
c)\(2x-10arctgx\)
d)\((x^2-3)e^x\)

[chris_f]

Wszystkie robi się według tego samego schematu:
Dziedzina, obliczenie pochodnej, znalezienie jej miejsc zerowych i zbadanie znaków. Dla przykładu powiedzmy b) i d).
b) \(D_f:\quad 16-x^2\ge0\Longrightarrow x\in[-4,4]\)
\(f'(x)=\sqrt{16-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{16-x^2}}=\sqrt{16-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}=
\frac{16-x^2-x^2}{\sqrt{16-x^2}}=\frac{16-2x^2}{\sqrt{16-x^2}}\)
\(f'(x)=0\Longleftrightarrow 16-2x^2=0\Longleftrightarrow x^2=8\Longleftrightarrow x=-2\sqrt{2}\vee x=2\sqrt{2}\)
Mamy zatem dwa punkty w których mogą występować ekstrema. Po zbadaniu znaków pochodnej będziemy mieli zarówno przedziały monotoniczności jak i rozstrzygniemy istnienie i rodzaj ekstremów.
\(f'(x)>0\Longleftrightarrow 16-2x^2>0\Longleftrightarrow x^2<8\Longleftrightarrow x\in(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})\)
Stąd mamy oczywiście (po uwzględnieniu dziedziny)
\(f'(x)<0\Longleftrightarrow x\in[-4,-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2},4]\)
Ostatecznie
\(x\in[-4,-2\sqrt{2})\) - funkcja malejąca
\(x\in(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})\) - funkcja rosnąca
\(x\in(2\sqrt{2},4]\) - funkcja malejąca
\(x=-2\sqrt{2}\) - minimum równe \(-8\)
\(x=2\sqrt{2}\) - maksimum równe \(8\)

d) \(D_f=\mathbb{R}\)
\(f'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x=e^x(x^2+2x-3)\)
\(f'(x)=0\Longleftrightarrow x^2+2x-3=0\Longleftrightarrow x=-3\vee x=1\)
\(f'(x)>0\Longleftrightarrow x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\)
\(f'(x)<0\Longleftrightarrow x\in(-3,1)\)
Ostatecznie
\(x\in(-\infty,-3)\) - funkcja rosnąca
\(x\in(-3,1)\) - funkcja malejąca
\(x\in(1,\infty)\) - funkcja rosnąca
\(x=-3\) maksimum równe \(\frac{6}{e^3}\)
\(x=1\) minimum równe \(-2e\)
Podpunkty a) i c) robimy analogicznie.