Badanie przebiegu zmienności funkcji

[alicja_91]

\(y = x+arctg x\)

Jak wygląda dziedzina?

I jeszcze monotoniczność i ekstrema funkcji, więc to tak:
\(y' = (x+arctg x)' = 1+\frac{1}{x^2+1}\)

\(1+\frac{1}{x^2+1}=0\)
\(\frac{x^2+1}{x^2+1} +\frac{1}{x^2+1}=0\)
\(x^2+2=0\)
\(\Delta = -8\)
Nie wiem, co teraz zrobić.

[octahedron]

\(D:\ x\in R
1+x^2>0\Rightarrow f'(x)>0\)

Funkcja jest rosnąca i ekstremów nie ma

[alicja_91]

Dziękuje, a jak będzie z asymptotami? Bo skoro \(D: x \in R\).

Czyli brak asymptot pionowych? A asymptota ukośna czy pozioma istnieje?

[octahedron]

Funkcja jest nieparzysta, czyli wystarczy zbadać tylko z jednej strony:

\(\lim_{x\to\infty}x+\mbox{arctg}(x)=\infty+\frac{\pi}{2}=\infty\) - nie ma poziomych
\(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\mbox{arctg}(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}1+\frac{\mbox{arctg}(x)}{x}=1
\lim_{x\to\infty}x+\mbox{arctg}(x)-x=\lim_{x\to\infty}\mbox{arctg}(x)=\frac{\pi}{2}\)

czyli mamy asymptoty poziome \(y=x+\frac{\pi}{2}\) i \(y=x-\frac{\pi}{2}\)