Wklęsłość i wypukłość, punkty przecięcia

[alicja_91]

Witam!

Mam pytanie, jak wyjdzie z tą wklęsłością i wypukłością?

\(y = \frac{x}{1+x^2}\)

Właściwie mam problem z \(y^{''}\). W \(y'\) wyszło mi \(\frac{-x^2+1}{(1+x^2)^2}\)
--------------
Punkty przecięcia:
\(y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)

z osią OX
\(0 = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)
\(0 = (x+1)^3\)
I co teraz mam zrobić?

[patryk00714]

\(y= \frac{x}{1+x^2}\)
\(y'= \frac{1+x^2-x(2x)}{(1+x^2)^2}= \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)

\(y"= \frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}= \frac{-x(1+2x^2+x^4)-4x(1-x^4)}{(1+x^2)^4}= \frac{-x-2x^3-x^5-4x+4x^5}{(1+x^2)^4}=\)
\(=\frac{3x^5-2x^3-5x}{(1+x^2)^4}= \frac{x(3x^4-2x^2-5)}{(1+x^2)^4}\)

\(y''=0 \Rightarrow x(3x^4-2x^2-5)=0\); \(t=x^2\)
\(x=0 \vee 3t^2-2t-5=0 \Rightarrow \Delta =64 \Rightarrow t_1=-1 \vee t_2= \frac{5}{3}\)
\(x_1=0 \vee x_2= \frac{ \sqrt{15} }{3} \vee x_3=- \frac{ \sqrt{15} }{3}\)

z wykresu wielomianu \(3x^5-2x^3-5x\) widać, że w tych punktach następuje zmiana znaku, zatem istnieją punkty przegięcia w \(x_1,x_2,x_3\)

\(y''>0\)dla \(x \in (-\frac{ \sqrt{15} }{3},0) \cup (\frac{ \sqrt{15} }{3},+ \infty )\)
\(y''<0 dla\) dla \(x \in (- \infty ,- \frac{ \sqrt{15} }{3}) \cup (0, \frac{ \sqrt{15} }{3})\)

[octahedron]

Punkty przecięcia czy punkty przegięcia ? Chyba raczej to drugie.

\(f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
f''(x)=\frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}=\frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=\frac{2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{(1+x^2)^3}\)
\(x\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3})\Rightarrow f''(x)<0\) f. wklęsła
\(x\in(-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty)\Rightarrow f''(x)>0\) f. wypukła
\(x\in\{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}\Rightarrow f''(x)=0\) punkty przegięcia

[patryk00714]

zjadłem dwójke przy drugiej pochodnej po redukcji. Moje rozwiązanie jest błędne.

[alicja_91]

Dziękuje bardzo, a wolfram mówi co innego, że \((\frac{-x^2+1}{(1+x^2)^2})^'= \frac{2(x-2)}{(x+1)^4}\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29^4%29%27

Nie, chodziło mi o punkty przecięcia z osiami, nie pomyliłam się Ale do \(y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)

z osią \(OX\) i \(OY\)

[octahedron]

Wolfram tak mówi, bo w mianowniku jest \((1+x)^4\) zamiast \((1+x^2)^2\)

[octahedron]

Jeśli chodzi o punkty przecięcia:

z osią \(OX\):

\(y=0\Rightarrow \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}=0\Rightarrow (x+1)^3=0\Rightarrow x=-1\)

z osią \(OY\):

\(x=0\Rightarrow y=\frac{(0+1)^3}{(0-1)^2}=1\)