Przed. monotoniczności i ekstr. lokalne

[edika]

Proszę o pomoc w znalezieniu przedziałów monotoniczności i ekstremów lokalnych funkcji:
a) f(x) = \(lnx + \frac{1}{lnx}\)
b) f(x) = \(e^{ \frac{1}{x^2-3x+2}\)

[octahedron]

\(f(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}
D:\ x>0,\ x\ne 1
f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln^2 x}=\frac{1}{x}\(1-\frac{1}{\ln^2x}\)
f'(x)<0 \Leftrightarrow \ln^2x>1 \Leftrightarrow \ln x\in(-1,0)\cup(0,1) \Leftrightarrow x\in\(\frac{1}{e},1\)\cup(1,e)
f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{e}\ \vee\ x=e
f'(x)>0 \Leftrightarrow x\in\(0,\frac{1}{e}\)\cup(e,\infty)\)

[Crazy Driver]

A na czym konkretnie polega problem?

[edika]

Policzyłam pochodną \(\frac{1}{x} (1-ln^{-2}x)\), przyrównuję do zera i mam x=e lub x=1/e i nie wiem, co dalej

[Crazy Driver]

Ok. Aby stwierdzić, czy w punktach krytycznych funkcja osiąga ekstrema, musimy albo policzyć drugą pochodną, albo przeanalizować znak pierwszej pochodnej w otoczeniu punktów krytycznych, np. poprzez rozwiązanie nierówności \(f'(x)>0\).

[Crazy Driver]

Analiza została już przeprowadzona kilka postów wyżej.

[octahedron]

\(f(x)=\frac{1}{e^{x^2-3x+2}}=\frac{1}{e^{(x-1)(x-2)}}\)

Tutaj wystarczy zbadać samą funkcję \((x-1)(x-2)\), która jest malejąca w \(\(-\infty,\frac{3}{2}\)\) i rosnąca w \(\(\frac{3}{2},\infty\)\), więc \(f(x)\) jest w pierwszym przedziale rosnąca, w \(x=\frac{3}{2}\) osiąga maksimum i potem maleje.