pochodne

[malineczka8888]

Zbadać czy funkcja f posiada pochodną w punkcię \(x_0\)
a) f(x)=|x|, \(x_0=0\)
b) \(f(x)= \begin{cases} -x^2+x dla x \ge 1 \\ \frac{1}{x} dla x \in (0,1) \end{cases}\), \(x_0=1\)
c) \(f(x)= \begin{cases} \sqrt{x} dla x \ge 0 \\ \sqrt{-x} dla x<0 \end{cases}\), \(x_0=0\)

[jola]

a.
\(f(x)= \begin{cases}x\ \ \ dla\ \ \ x \ge 0\\ -x\ \ \ dla x<0 \end{cases}\\ f(0)=0\\ \begin{cases} \lim_{x\to 0^+} \ f(x)= \lim_{x\to 0^+}x=0\\ \lim_{x\to 0^-}\ f(x)\ = \lim_{x\to 0^-} (-x)=0 \end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0}=f(0) =0\ \ \ \Rightarrow \ \\)
\(\Rightarrow \ \\)funkcja ciągła dla\(\ \ x_o=0\)

[jola]

b.
\(f(1)=0\\ \begin{cases} \lim_{x\to 1_+}f(x) =\lim_{x\to 1^+} (-x^2+x)=0 \\ \lim_{x\to 1^-}f(x)= \lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x} =1 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \lim_{x\to 1^+}f(x)=0 \neq \lim_{x\to 1^-}f(x)=1\ \ \ \Rightarrow \ \\)
\(\Rightarrow \ \ \\)brak granicy dla\(\ \ \ x_o=1\ \ \Rightarrow\ \ \\)funkcja nie jest ciągła dla\(\ \ x_o=1\)

[jola]

c.
\(f(0)=0\\ \begin{cases} \lim _{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}=0\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)= \lim_{x\to 0^-} \sqrt{-x}=0\ \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \ \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^-} f(x)= \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \\)
\(\Rightarrow \ \ \\)funkcja ciągła dla\(\ \ x_o=0\)