granica z arctg

[suspicious20]

\(\lim_{x\to 3^-} \frac{x^2 -3x}{arctg(x-3)}\)

\(\lim_{x\to 3^+} \frac{x^2 -3x}{arctg(x-3)}\)

zastanawiam sie jak to najszybciej policzyc bo z d'hospitala mi nie wychodzi, chyba ze robie gdzies bł◘ad.

[Galen]

Skorzystaj z faktu,że granica \(\frac{tgx}{x}\) wynosi 1 , gdy x zmierza do zera.
Dla funkcji odwrotnej jest tak samo.
\(\lim_{x\to 0} \frac{arctgx}{x}= \lim_{x\to 0} \frac{x}{arctgx}=1\)

\(\lim_{x\to 3} \frac{x(x-3)}{arc tg(x-3)}=(podstaw\;t=x-3\;\;x=t+3 )\)
\(= \lim_{t\to 0 } \frac{(t+3) \cdot arc tg t}{t} = \lim_{t\to 0 }(t+3) \cdot \lim_{t\to 0} \frac{t}{arc tg t}=(0+3) \cdot 1=3\)

[radagast]

A mi z de l'Hospitala wychodzi :
\(\lim_{x\to 3^-} \frac{x^2 -3x}{arctg(x-3)}=^H\lim_{x\to 3^-} \frac{2x -3}{1+ \frac{1}{(x-3)^2} }=3\)
( z prawej strony identycznie)

[suspicious20]

\(\lim_{x\to 0^-} x sin{ \frac{1}{x} }\)
a tutaj ?
\(\lim_{x\to 0^-} \frac{x sin{ \frac{1}{x} } \cdot \frac{1}{x}}{ \frac{1}{x} } = 1\) ???

[radagast]

\(\lim_{x\to 0^-} x sin{ \frac{1}{x} }=0\)
natomiast
\(\lim_{x\to \infty } x sin{ \frac{1}{x} }=1\)