granica arctg

[suspicious20]

\(\lim_{x\to 0^-} \frac{arctg3x}{x}\)
nie wiem jak to policzyc.

[jola]

\(\lim_{x\to 0^-}\ \frac{arctg3x}{x}\ \frac{H}{=} \ \lim_{x\to 0^-} \ \frac{ \frac{3}{1+9x^2} }{1}=3\)

[radagast]

można też bez de l'Hospitala:
\(\lim_{x\to 0^-} \frac{arctg3x}{x}= \left( t=arctg3t\\x= \frac{tgt}{3}\right)=\lim_{t\to 0^-} \frac{3t}{tgt}=\lim_{t\to 0^-} \frac{3tcost}{sint}=3\)

[octahedron]

\((\mbox{arctg}3x)'=\frac{3}{1+9x^2}\)

[suspicious20]

a takie cos :
\(\lim_{x\to 0^-} \frac{2^{ \frac{1}{x} } -1}{ 2^{\frac{1}{x}} +1 }\)
\(\lim_{x\to 0^+} \frac{2^{ \frac{1}{x} } -1}{ 2^{\frac{1}{x}} +1 }\)

[octahedron]

\(\lim_{x\to 0^-} \frac{2^{ \frac{1}{x} } -1}{ 2^{\frac{1}{x}} +1 }=\frac{2^{-\infty}-1}{2^{-\infty}+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1
\lim_{x\to 0^+} \frac{2^{ \frac{1}{x} } -1}{ 2^{\frac{1}{x}} +1 }=\lim_{x\to 0^+} \frac{1-2^{ -\frac{1}{x} }}{1+ 2^{-\frac{1}{x}} }=\frac{1-2^{-\infty}}{1+2^{-\infty}}=\frac{1-0}{1+0}=1\)

[suspicious20]

a czemu zamieniasz w drugim przypadku znaki ?

[octahedron]

znaki czego ?

[suspicious20]

\(\lim_{x\to 0^+} \frac{2^{ \frac{1}{x} } -1}{ 2^{\frac{1}{x}} +1 }=\lim_{x\to 0^+} \frac{1-2^{ -\frac{1}{x} }}{1+ 2^{-\frac{1}{x}} }\)
chyba jestem zmeczony bo nie wiedze co Ty tu zroiles...

[octahedron]

Podzieliłem licznik i mianownik przez \(2^{\frac{1}{x}}\)