Szereg - pytanie

[saszaw90]

Dlaczego ten szereg jest zbieżny?

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \cdot \sqrt{n} }\)

[alexx17]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \cdot \sqrt{n} } \le \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2 }\) zbieżny

[octahedron]

Tylko że niestety \(\frac{1}{n\sqrt{n}}\ge\frac{1}{n^2}\)

\(r>1\Rightarrow \frac{1}{10^{r-1}}<1
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^r}=\(\frac{1}{1^r}+\frac{1}{2^r}+...+\frac{1}{9^r}\)+\(\frac{1}{10^r}+\frac{1}{11^r}+...+\frac{1}{99^r}\)+\(\frac{1}{100^r}+\frac{1}{101^r}+...+\frac{1}{999^r}\)+\(\frac{1}{1000^r}+...\.<
<\(\frac{1}{1^r}+\frac{1}{1^r}+...+\frac{1}{1^r}\)+\(\frac{1}{10^r}+\frac{1}{10^r}+...+\frac{1}{10^r}\)+\(\frac{1}{100^r}+\frac{1}{100^r}+...+\frac{1}{100^r}\)+\(\frac{1}{1000^r}+...\.=
=9\cdot\frac{1}{1^r}+90\cdot\frac{1}{10^r}+900\cdot\frac{1}{100^r}+9000\cdot\frac{1}{1000^r}+...=
=9+9\cdot\frac{1}{10^{r-1}}+9\cdot\frac{1}{100^{r-1}}+9\cdot\frac{1}{1000^{r-1}}+...=
=9+9\cdot\frac{1}{10^{r-1}}+9\cdot\(\frac{1}{10^{r-1}}\)^2+9\cdot\(\frac{1}{10^{r-1}}\)^3+...=\frac{9}{1-\frac{1}{10^{r-1}}}
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^r}<\frac{9}{1-\frac{1}{10^{r-1}}}\)

Zatem dla \(r>1\) ciąg sum częściowych szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^r}\) jest ograniczony, a ponieważ jest rosnący, jest też zbieżny. W naszym przykładzie \(\frac{1}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}},\ \frac{3}{2}>1\), czyli szereg jest zbieżny

[alexx17]

Przypałowo. Zbyt szybko chciałem skończyć