Granice fukcji

[greenballz]

1) \(\lim_{x\to \infty }= \frac{\sqrt(1+2x^2)-\sqrt(1+4x^2)}{x}\)

2) \(\lim_{x\to4 }= \frac{\sqrt (1+2x)-3}{\sqrt x-2}\)

dzieki

[radagast]

1)
\(\lim_{x\to \infty } \frac{\sqrt(1+2x^2)-\sqrt(1+4x^2)}{x}=\lim_{x\to \infty } \frac{ \left(sqrt(1+2x^2)-\sqrt(1+4x^2) \right)\left(sqrt(1+2x^2)+\sqrt(1+4x^2) \right) }{x\left(sqrt(1+2x^2)+\sqrt(1+4x^2) \right)}=
\lim_{x\to \infty } \frac{ 1+2x^2-1-4x^2 }{x\left(sqrt(1+2x^2)+\sqrt(1+4x^2) \right)}=\lim_{x\to \infty } \frac{-2x }{\left(sqrt(1+2x^2)+\sqrt(1+4x^2) \right)}=\lim_{x\to \infty } \frac{-2 }{\left(sqrt( \frac{1}{x^2} +2)+\sqrt( \frac{1}{x^2} +4) \right)}= \frac{-2}{ \sqrt{2}+2 } =
\frac{-2 \left( \sqrt{2}+2 \right) }{ 2-4}= \sqrt{2}+2\)

[Galen]

2)
\(\frac{( \sqrt{1+2x}-3)( \sqrt{1+2x}+3)( \sqrt{x}+2) }{( \sqrt{x}+2)( \sqrt{x}-2)( \sqrt{1+2x}+3) }= \frac{(1+2x-9)( \sqrt{x}+2) }{(x-4)( \sqrt{1+2x}+3) }= \frac{2(x-4)( \sqrt{x}+2) }{(x-4)( \sqrt{1+2x}+3) }= \frac{2( \sqrt{x}+2) }{ \sqrt{1+2x}+3 }\)
Teraz przechodząc do granicy masz:
\(\lim_{x\to 4}f(x)= \frac{2(2+2)}{3+3}= \frac{8}{6}=1 \frac{1}{3}\)

[greenballz]

Wielkie dzięki ludzie!
mam jeszcze 2 przykłady, o których nie wspominali na wykładzie a mam zadane.
\(\lim_{x\to \infty } (x^2+sin x-2x^3)\)

\(\lim_{x\to 0 } \frac{sin3x}{5x}\)

[radagast]

\(\lim_{x\to 0 } \frac{sin3x}{5x}=\lim_{x\to 0 } \frac{3xsin3x}{5x \cdot 3x}=\lim_{x\to 0 } \frac{3}{5} \cdot \frac{sin3x}{ 3x}= \frac{3}{5} \cdot 1= \frac{3}{5}\)

[radagast]

\(\lim_{x\to \infty } (x^2+sin x-2x^3)=\lim_{x\to \infty } x^3( \frac{1}{x} + \frac{sin x}{x^3}-2 )= \infty \cdot (-2)=- \infty\)

[greenballz]

Kolejne podziękowania poleciały, jesteś wielka