asymptoty

[patryk00714]

Dana jest funkcja \(f(x)= \frac{e^x}{x+1}\). Jak wyznaczyć jej asymptoty?

[radagast]

ponowa x=-1
bo D =R-{-1}
i \(\lim_{x\to -1} f(x)= \infty\)
pozioma lewostronna y=0
bo \(\lim_{x\to - \infty } f(x)= 0\)
ponadto:
\(\lim_{x\to + \infty } f(x)= \infty\) -poziomej prawostronnej brak
\(\lim_{x\to + \infty } \frac{f(x)}{x} = \infty\) -ukośnej prawostronnej brak

[patryk00714]

\(D_f = R-({-1})\)wg mnie. Mogłaby to Pani jakoś rozpisać?

[radagast]

\(D_f = R-({-1})\)wg mnie. Mogłaby to Pani jakoś rozpisać?

słusznie, to pomyłka (juz poprawiłam)
a rozpisać to chyba tak:
\(\lim_{x\to -1^- } \frac{e^x}{x+1}= \frac{ \frac{1}{e} }{0^- }=- \infty\)
\(\lim_{x\to -1^+ } \frac{e^x}{x+1}= \frac{ \frac{1}{e} }{0^+ }=+ \infty\)

[jola]

\(D_f=(- \infty ;-1) \cup (-1;+ \infty )\)

\(\begin{cases} \lim_{x\to -1^-}\ \frac{e^x}{x+1} =- \infty \\ \lim_{x\to -1^+}\ \frac{e^x}{x+1} =+ \infty \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \\)prosta o rownaniu x=-1 jest asymptotą pionową obustronną

\(\lim_{x\to + \infty }\ \frac{f(x)}{x}\ =\ \lim_{x\to + \infty }\ \frac{e^x}{x^2+x} \ \frac{H}{=} \ \lim_{x\to + \infty } \ \frac{e^x}{2x+1}\ \frac{H}{=}\ \lim_{x\to + \infty }\ \frac{e^x}{2} \ =\ + \infty \ \ \ \Rightarrow \ \\)brak asymptoty ukośnej prawostronnej

\(\begin{cases} \lim_{x\to - \infty }\ \frac{f(x)}{x}\ =\ \lim_{x\to - \infty } \ \frac{e^x}{x^2+x} \ \frac{H}{=} \lim_{x\to - \infty }\ \frac{e^x}{2x+1}\ \frac{H}{=}\ \lim_{x\to - \infty } \frac{e^x}{2} =0\ =\ a \\ \lim_{x\to - \infty } \ [f(x)-ax]\ =\ \lim_{x\to - \infty } \ \frac{e^x}{x+1}\ \frac{H}{=}\ = \lim_{x\to - \infty } \ \frac{e^x}{1}\ =\ 0\ =b \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow\)

\(\Rightarrow \ \ \\)prosta o równaniu y=0 jest asymptotą poziomą lewostronną

[patryk00714]

dziękuje bardzo! Teraz wystarczy przeanalizować