równanie różniczkowe

[mbw]

Równanie różniczkowe

\(y'=sin^2(2x-5y)\)

czy da się je zrobić sposobem zmiennych rozdzielonym? a jesli nie to jakim? moglibyście pomóc?

[radagast]

No to mam:
zaczynam od początku, bo nie wszyscy znają nasze wczorajsze i dzisiejsze rozważania
\(y'=sin^2(2x-5y)\)
podstawmy:
\(t=2x-5y\\y= \frac{2x-t}{5}\\ \frac{dy}{dx}= \frac{2}{5}- \frac{dt}{5dx}\)
wracając z tym do równania mamy:
\(\frac{2}{5}- \frac{dt}{5dx}=sin^2t\)
czyli, po rozdzieleniu zmiennych:
\(\frac{dt}{2-5sin^2t}=dx\)
Teraz należy policzyć całkę:
\(\int \frac{dt}{2-5sin^2t}= \frac{2}{5} \int \frac{dt}{ \frac{4}{5} - 2 sin^2t}=\frac{2}{5} \int \frac{dt}{ 1- 2 sin^2t-\frac{1}{5} }=\frac{2}{5} \int \frac{dt}{ cos2t-\frac{1}{5} }=\frac{2}{5} \int \frac{dt}{ \frac{1-tg^2t}{1+tg^2t} -\frac{1}{5} }= \int \frac{1+tg^2t}{ 2-3tg^2t }dt=
\left( tgt=u\\ t=arctgu\\ \frac{dt}{du} =\frac{1}{1+u^2} \\ dt=\frac{du}{1+u^2}\right)= \int \frac{du}{ 2-3u^2 } =\int \frac{du}{ \left( \sqrt{2} - u\sqrt{3} \right) \left( \sqrt{2} + u\sqrt{3} \right) } =
\int \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{6} du}{ \sqrt{2} + u\sqrt{3} }+\int \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{6} du}{ \sqrt{2} - u\sqrt{3} } =
\frac{1}{6} ln \left( \sqrt{2} + u\sqrt{3} \right) +\frac{1}{6} ln \left( \sqrt{2} - u\sqrt{3} \right)+C=\frac{1}{6} ln \left(2 - 3u \right)+C=\frac{1}{6} ln \left(2 - 3tgt \right)+C=
\frac{1}{6} ln \left(2 - 3tg(2x-5y) \right)+C=x\)
Przyzwoiciej byłoby z tego jeszcze wyznaczyć y. Ale w zasadzie krzywa całkowa została juz wyznaczona

[mbw]

witam a czy tego z tego t nie powinno się zrobić pochodnej względem x? czyli t'=x+5y'

[radagast]

witam a czy tego z tego t nie powinno się zrobić pochodnej względem x? czyli t'=x+5y'

no to przecież tam jest:

\(t=2x-5y\\y= \frac{2x-t}{5}\\ \frac{dy}{dx}= \frac{2}{5}- \frac{dt}{5dx}\)

[radagast]

Juz dokończyłam (patrz wyżej) Należy sprawdzić rachunki, ale zasada na pewno dobra