Obliczyć granicę funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Obliczyć granicę funkcji
Witam! Proszę o pomoc.
1) \(\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\)\(\frac{cos3x}{cosx}\)
2)\(\lim_{x\to-1 }\) \(\frac{x^3-1}{ln(3x+4)}\)
3) \(\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{x^3}\)
4)\(\lim_{x\to1 }\)\((1-x)tg \frac{ \pi x}{2}\)
5)\(\lim_{x\to0 }\)\(\frac{1}{x}- \frac{1}{e^x-1}\)
6)\(\lim_{x\to0^+ }\)\(x^x\)
Z góry dziękuję. Pozdrawiam!
1) \(\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\)\(\frac{cos3x}{cosx}\)
2)\(\lim_{x\to-1 }\) \(\frac{x^3-1}{ln(3x+4)}\)
3) \(\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{x^3}\)
4)\(\lim_{x\to1 }\)\((1-x)tg \frac{ \pi x}{2}\)
5)\(\lim_{x\to0 }\)\(\frac{1}{x}- \frac{1}{e^x-1}\)
6)\(\lim_{x\to0^+ }\)\(x^x\)
Z góry dziękuję. Pozdrawiam!
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
1) \(\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\frac{cos3x}{cosx}=\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\frac{sin {\left( \frac{ \pi }{2}- 3x\right) }}{sin{\left( \frac{ \pi }{2}- x\right) }}= \left( \frac{ \pi }{2}-x=t \\x= \frac{ \pi }{2}-t\\\frac{ \pi }{2}- 3x=3t- \pi\\ \lim_{x\to \frac{ \pi }{2} } t=0 \right)= \lim_{t\to 0 } \frac{sin { \left( 3t- \pi \right) }}{sin{t }}=-\lim_{t\to 0 } \frac{sin { \left( 3t \right) }}{sin{t }}=-3\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
3) \(\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{x^3}=\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{3x^2}=\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{6x}=\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{6}= \infty\)
To trochę nie elegancko w takich przykładach stosować regułę de l'Hospitala (dlatego pytałam). Dowodem reguły się nie przejmuj , mało kto go zna i niewielu rozumie. To jest potężne działo, nieskomplikowane w obsłudze
To trochę nie elegancko w takich przykładach stosować regułę de l'Hospitala (dlatego pytałam). Dowodem reguły się nie przejmuj , mało kto go zna i niewielu rozumie. To jest potężne działo, nieskomplikowane w obsłudze
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Obliczyć granicę funkcji
4)
\(\lim_{x\to1 }(1-x)tg \frac{ \pi x}{2}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{cos{\frac{ \pi x}{2}}}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi x}{2} \right)}}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}}=
\lim_{x\to1 } \frac{ \pi }{2} (1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{ \frac{ \pi }{2} sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}}=\lim_{x\to1 } \frac{\frac{ \pi }{2} (1-x)}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}} \cdot \frac{sin{ \frac{ \pi x}{2}} }{ \frac{ \pi }{2} }=1 \cdot \frac{1}{ \frac{ \pi }{2} } = \frac{2}{ \pi }\)
Może to i można jakoś prościej ale nijak nie chciało mi wyjść. Reguła de l'Hospitala - nie pomaga.
\(\lim_{x\to1 }(1-x)tg \frac{ \pi x}{2}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{cos{\frac{ \pi x}{2}}}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi x}{2} \right)}}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}}=
\lim_{x\to1 } \frac{ \pi }{2} (1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{ \frac{ \pi }{2} sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}}=\lim_{x\to1 } \frac{\frac{ \pi }{2} (1-x)}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}} \cdot \frac{sin{ \frac{ \pi x}{2}} }{ \frac{ \pi }{2} }=1 \cdot \frac{1}{ \frac{ \pi }{2} } = \frac{2}{ \pi }\)
Może to i można jakoś prościej ale nijak nie chciało mi wyjść. Reguła de l'Hospitala - nie pomaga.
Re: Obliczyć granicę funkcji
Witam ponownie! mam jeszcze kilka przykładów, proszę o pomoc:
7)\(\lim_{x\to1 }\) \((2-x)^{tg \frac{ \pi x}{2} }\)
8.)\(\lim_{x\to2 }\) \((e^{x-2}+x-2)^{ \frac{1}{2x} }\)
9)\(\lim_{x\to0 }\) \((ctg2x)^{ \frac{1}{lnx} }\)
10)\(\lim_{x\to2 }\) \(\frac{x^3-4x^2+4x}{x^3-12x+16}\)
7)\(\lim_{x\to1 }\) \((2-x)^{tg \frac{ \pi x}{2} }\)
8.)\(\lim_{x\to2 }\) \((e^{x-2}+x-2)^{ \frac{1}{2x} }\)
9)\(\lim_{x\to0 }\) \((ctg2x)^{ \frac{1}{lnx} }\)
10)\(\lim_{x\to2 }\) \(\frac{x^3-4x^2+4x}{x^3-12x+16}\)