Wzór Taylora

[alicja_91]

Napisać wzór Taylora n-tego rzędu dla funckji \(y = \frac{1}{x}\) w punkcie \(x_0 = -1\)

Nie wiem, czy o to chodzi:

\(f(x) = f(-1)+ \frac{ (\frac{1}{x})'(-1)}{1!}(x+1)+ \frac{(\frac{1}{x}){''}(-1)}{2!}(x+1)^{2}+...+ \frac{(\frac{1}{x})^{(n)}(-1)}{n!}(x+1)^n\)?

[octahedron]

\(f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\frac{n!}{x^{n+1}}
f^{(n)}(-1)=(-1)^n\cdot\frac{n!}{(-1)^{n+1}}=-n!
f(x)=-1-(x+1)-(x+1)^2-(x+1)^3-...-(x+1)^{n-1}+(-1)^n\cdot\frac{1}{c^{n+1}}(x+1)^n,\ c\in[-1,x]\)

[alicja_91]

Bardzo dziękuje. Jednak tak się robi, widziałam podobne przykłady. Tylko trochę nie bardzo rozumiem, jak to zrobiłeś. Bardzo mi na tym zależy, żeby zrozumieć, więc spróbuję napisać:

W takim razie:

Czyli najpierw trzeba wypisać kolejne pochodne funkcji?

To więc obliczyłam (nie wiem, czy dobrze mi wyszło):
\(1.\)
\(f'(x) = - \frac{1}{x^2} ==> f'(-1) = 1\)
\(f{''}(x) = - \frac{2x}{x^4} ==> f{''}(-1) = 2\)
\(f{'''}(x) = - \frac{6x^4}{x^8} ==> f{'''}(-1) = 6\)

\(2.\)
dlatego to się wzięło
\(f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\frac{n!}{x^{n+1}}\)

\(3.\)
A tutaj:

\(f(x)=-1-(x+1)-(x+1)^2-(x+1)^3-...-(x+1)^{n-1}+(-1)^n\cdot\frac{n!}{c^{n+1}}(x+1)^n,\ c\in[-1,x]\)

napisałeś tak, bo:
\(f(x) = -1+ \frac{x+1}{1!} \cdot (-1!)+ \frac{(x+1)^2}{2!} \cdot (-2!)+...+ \frac{(x+1)^n}{n!} \cdot (-n!) + R_{n}(x,-1)\)?

\(4.\) Jedynie to nie rozumiem, skąd się wzięło: \((-1)^n\cdot\frac{n!}{c^{n+1}}(x+1)^n\)

\(5.\) \(c\) to reszta?

Będę, aż to bardzo wdzięczna za udzielenie odpowiedzi.

[octahedron]

1. Niestety te pochodne są źle policzone
2. Wzór na \(n\)-tą pochodną \(\frac{1}{x}\) jest właśnie taki: \((-1)^n\cdot\frac{n!}{x^{n+1}}\), kolejno wychodzi \(-\frac{1}{x^2},\frac{2}{x^3},-\frac{6}{x^4},...\)
3. W zasadzie to powinno być \(f(x)=-1-(x+1)-(x+1)^2-...-(x+1)^n+(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{c^{n+2}}(x+1)^{n+1}\), bo \(n\) to liczba wyrazów bez reszty
4. To jest reszta w postaci Lagrange'a: \(R_n(x,-1)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x+1)^{n+1}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{c^{n+2}}\) (w poprzednim poście w liczniku nie powinno być \(n!\))
5. \(c\) to punkt pośredni między \(x\) i \(-1\), pochodna w reszcie jest właśnie w tym punkcie, a nie w \(-1\)

[alicja_91]

Bardzo się cieszę, że odpowiedziałeś na moje nurtujące pytania Coraz lepiej rozumiem, a z tymi pochodnymi już sobie poradziłam, wiem, gdzie popełniłam błędy.

Ostatnie pytanie, bo zauważyłam, że poprawiłeś poprzedni post, więc zatem, które jest dobrze:
\(\frac{1}{c^{n+2}}\)czy\(\frac{1}{c^{n+1}}\) Nie mogę pojąć, skąd się wzięła ta dwójka?

[octahedron]

Bo wzór \(n\)-tego rzędu chyba oznacza, że rozwijamy funkcję do wyrazu z \(n\)-tą pochodną plus reszta, czyli w reszcie Lagrange'a będzie pochodna rzędu \(n+1\), a wtedy wyjdzie \(\frac{1}{c^{n+2}}\)

[alicja_91]

Bo wzór \(n\)-tego rzędu chyba oznacza, że rozwijamy funkcję do wyrazu z \(n\)-tą pochodną plus reszta, czyli w reszcie Lagrange'a będzie pochodna rzędu \(n+1\), a wtedy wyjdzie \(\frac{1}{c^{n+2}}\)

Myślę, że nie o to mi chodziło. Może źle wyraziłam, o co mi chodzi.

Chodziło mi o:
- w poście, w którym edytowałeś i poprawiłeś jest tak: \(...-(x+1)^{n-1}+(-1)^n\cdot\frac{1}{c^{n+1}}(x+1)^n\)
- a w poście, w punkcie 3: \(...-(x+1)^n+(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{c^{n+2}}\)

Tego nie mogę pojąć, czemu jest inaczej. Myślałam nad tym 20 minut, że uda mi się skapnąć. I nie będę musiała pytać, ale niestety jakoś słabo myślę.

[octahedron]

Mój błąd, zgubiłem \((x+1)^{n+1}\), jestem Ci chyba winien te 20 minut życia

[alicja_91]

Mój błąd, zgubiłem \((x+1)^{n+1}\), jestem Ci chyba winien te 20 minut życia

Nic się nie stało, w porządku Myślałam, że ja znowu coś nie rozumiem. Mógłbyś jeszcze raz napisać tą "końcówkę", tak żeby było jasne, jak jest poprawne.

Bo znów jest inaczej: \((-1)^n\) i \((-1)^{n+1}\) czy powinno być bez tej "\(+1\)"

[octahedron]

W treści zadania jest wzór Taylora \(n\)-tego rzędu. Czyli wielomian \(n\)-tego stopnia i reszta, więc w reszcie Lagrange'a jest \(n+1\) pochodna:

\(f(x)=-1-(x+1)-(x+1)^2-...-(x+1)^n+(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{c^{n+2}}(x+1)^{n+1}\)

[alicja_91]

Bardzo dziękuje octahedron za ogromną pomoc i udzielenie odpowiedzi Dzięki Tobie już rozumiem to zadanie i jak to się rozwiązuje