granica ktora nie istnieje

[suspicious20]

\(\lim_{x\to 4} \frac{x^2 -16}{|x - 4|}\)
nie wiem dalczego on a nie istnieje. nie rozumiem zbytnio tych prawostronnych granic i lewostronnych. moglby mi to ktos w miare wytlumaczyc ?

[Galen]

\(f(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{|x-4|}=\{x+4\;\;\;dla\;\;x>4\\-(x+4)\;\;dla\;\;x<4\)
\(\lim_{x\to4_- }f(x)= \lim_{x\to 4_-}-(x+4)=-8\\
\lim_{x\to 4_+}f(x)= \lim_{x\to 4_+}(x+4)=8\)
\(\lim_{x\to 4_-}f(x) \neq \lim_{x\to 4_+}f(x)\)

[Galen]

http://www.jogle.pl/wykresy/
Narysuj wykres i wszystko pojmiesz.
Zbliżając się do liczby 4 z lewej obserwuj wartości funkcji,będą maleć do (-8)
Podobnie zbliżając się do 4 z prawej zobaczysz wykres o wartościach dążących do +8

[jola]

\(x \to 4^-\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x-4<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x-4|=-(x-4)\)

\(x \to 4^+\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x-4>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x-4|=x-4\)


\(\begin{cases} \lim_{x\to 4^-}\ \frac{x^2-16}{|x-4|}\ =\ \lim_{x\to } \ \frac{(x-4)(x+4)}{-(x-4)}\ =\ \lim_{x\to 4^-} \ [-(x+4)]\ =\ -8\\ \lim_{x\to 4^+}\ \frac{x^2-16}{|x-4|} = \lim_{x\to 4^+} \ \frac{(x-4)(x+4)}{x-4}\ \lim_{x\to 4^+} (x+4)\ =8 \end{cases}\ \ \ \ \ \ \Rightarrow\)

\(\lim_{x\to 4^-}\ f(x) \neq \ \lim_{x\to 4^+} \ f(x)\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \lim_{x\to 4}\ f(x)\ \\)nie istnieje