Zbieżnośc szeregu - ciag geometryczny

[hiohiohio55]

Udowodnij że zbiezny jest szereg
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3^{ \sqrt{n} }}\)

[hiohiohio55]

w podpowiedzi jest żeby porównać z szeregiem \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3^{a} }}\)

[octahedron]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3^{ \sqrt{n} }}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{\sqrt{2}}}+\frac{1}{3^{\sqrt{3}}}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^{\sqrt{5}}}+\frac{1}{3^{\sqrt{6}}}+\frac{1}{3^{\sqrt{7}}}+\frac{1}{3^{\sqrt{8}}}+\frac{1}{3^3}+...\le \\ \le \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...\le 1+\frac{5}{3^2}+\frac{7}{3^3}+...={\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n+1}{3^n}\)
\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n+1}{3^n}}=\frac{1}{3}\) - zbieżny, więc z kryterium porównawczego \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3^{ \sqrt{n} }}\) też jest zbieżny