Znajdż wartosc najwieksza i najmniejsza funkcji

[magda-czapka]

a)\(f(x)= \frac{x}{(1+x^2)}\), \(x \in R\)

b) \(f(x)= \frac{cosx+x}{2}\), \(x \in [0,2 \pi ]\)

[Galen]

a)
\(f'(x)=\frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\\
f'(x)=0\;\;dla\;\;x=-1\;\;oraz\;\;x=1\\
f(-1)=-\frac{1}{2}\;\;\;najmniejsza\\
f(1)=\frac{1}{2}\;\;\;najw.
f'(x)>0\;\;\;dla\;\;\;x\in(-1;1)\\ \lim_{x\to \pm \infty }f(x)=0\)
Funkcja rośnie tylko w przedziale <-1;1>,a w pozostałych maleje,stąd ekstrema funkcji są wartościami
najmniejszą i największą.
b)
\(f(x)=\frac{1}{2} \cdot (x+cosx)\\
f'(x)= \frac{1}{2}(1-sinx)\ge 0\;\;dla\;\;x\in [0;2\pi]\)
Funkcja f jest rosnąca w podanym przedziale.
Wartość najmniejsza to
\(f(0)= \frac{1}{2}\)
największa to \(f(2\pi)=\pi+ \frac{1}{2}\)