Witam,
następujące zadanie jest proste, aczkolwiek analizując je w domu wynikła mi pewna różnica między wynikiem otrzymanym a przerobionym na zajęciach.
Następujący szereg - \(\frac{2^n n!}{n^n}\)
Z kryterium d'Alemberta wynika granica \(\frac{2}{e}\), czyli szereg zbieżny.
Z kryterium Cauchy'ego wynika granica \(\frac{2}{n} \sqrt[n]{n!}\), z którego z pierwszego członu mnożenia wynika 0, a więc też szereg zbieżny.
Moje wątpliwości biorą się z faktu że podczas zajęć z tego przykładu wyszła granica \(\frac{2^n}{e}\), czyli rozbieżny.
Jakie jest prawidłowe rozwiązanie?
tak, nie trzeba kapeluszu, z tego co pamiętam to chyba kryt Cauchego pociąga za sobą kryt d'Alamberta
a co do mojej uwagi, bardziej chodziło mi o to, aby poprawnie posługiwać się granicą
[ Kryterium Cauchy'ego jest mocniejsze niż kryterium d'Alamberta: tzn. jeżeli
kryterium d'Alamberta mówi, że szereg jest zbieżny, to taką samą odpowiedź da
kryterium Cauchy'ego ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe ].
Tzn z tego co ja rozumiem to gdy uzyskamy z kryterium d'Alemberta granicę = 1 to wciąż można spróbować Cauchy'em, bo może jest szansa że kryterium Cauchy'ego da odpowiedź na zbieżność lub rozbieżność. Lecz gdy kryterium Cauchy'ego da granicę = 1 to już nie ma sensu sprawdzać d'Alembertem
