Znajdź ekstrema lokalne funkcji

[thomas 91]

\(f(x)=5x^3-35x+30\)

[Lbubsazob]

\(f'(x)=15x^2-35 \\
f'(x)=0 \\
15x^2-35=0 \\
5(3x^2-7)=0 \\
x= \frac{\sqrt7}{\sqrt3} \\
x= - \frac{\sqrt7}{\sqrt3}\)
Jak się narysuje wykres pochodnej, to widać, że zmienia ona znak w tych punktach.

[Galen]

\(f'(x)=15x^2-35\\
f(x)=0\;\;\;\;x_1=-\sqrt{\frac{7}{3}}\;\;\;\;\;x_2=\sqrt{\frac{7}{3}}\)
Obserwując zmiany znaku pochodnej wokół miejsc zerowych masz
\(f_{MAX}=f(-\sqrt{\frac{7}{3}})\\
f_{min}=f(\sqrt{\frac{7}{3}})\)

[jola]

\(f(x)=5x^3-35x+30\ \ \ D_f=R\\ f'(x)=15x^2-35\ \ \ D_{f'}=R\\ f'(x)=0\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x= \frac{ \sqrt{21} }{3}\ \ \ \vee \ \ \ x=- \frac{ \sqrt{21} }{3}\\ f''(x)=30x\ \ \ D_{f''}=R\\ f''( \frac{ \sqrt{21} }{3} )=10 \sqrt{21} \ >0\\f''(- \frac{ \sqrt{21} }{3} )=-10 \sqrt{21} \ <0\)

Na podstawie powyższego, warunku koniecznego istnienia ekstremum
oraz na podstawie II warunku wystarczającego ekstremumwynika , że :
dla\(\ \ x= \frac{ -\sqrt{21} }{3} \ \ \\)dana funkcja osiąga maksimum lokalne ,oraz
dla\(\ \ \ x= \frac{ \sqrt{21} }{3}\ \ \\)dana funkcja osiąga minimum lokalne