obliczyc granice

[suspicious20]

\(\lim_{x\to 2^+ } \frac{ \sqrt{x-2} - \sqrt{x^2 -4} }{x^2 - 5x +6}\)

Odp. \(+ \infty\)

[suspicious20]

i mam jeszcze taka granice:\(\lim_{x\to- \infty } (x+ \sqrt{x^2 +8x} )\)
i odpowiedz do tego mam taka : -4
ale wydaje mi sie ze aby wyszla taka odpowiedz to w przyklad powinien wygladac tak :
\(\lim_{x\to- \infty } (x- \sqrt{x^2 +8x} )\)
co sądzicie o tym ?

[Galen]

\(\lim_{x\to - \infty }(x+ \sqrt{x^2+8x})= \lim_{x\to - \infty }(x+|x| \sqrt{1+ \frac{8}{x} })= \lim_{x\to - \infty } (x-x \sqrt{1+ \frac{8}{x} })\)
\(= \lim_{x\to - \infty } \frac{x^2-x^2(1+ \frac{8}{x}) }{x+x \sqrt{1+ \frac{8}{x} } } = \lim_{x\to - \infty } \frac{-8x}{2x}= \frac{-8}{2}=-4\)
Należało zauważyć,że przy x ujemnych |x|=-x.

[Galen]

\(\frac{( \sqrt{x-2}- \sqrt{x^2-4})( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x^2-4}) }{(x-2)(x-3)( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x^2-4}) }= \frac{x-2-x^2+4}{(x-2)(x-3)( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x^2-4}) }= \frac{-x^2+x+2}{bez\;zmian}=\\
= \frac{-1(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-3)( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x^2-4}) })=skracasz= \frac{-1(x+1)}{(x-3)( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x^2-4} }\)

Liczysz granicę:
\(\lim_{x\to 2^+}f(x)= \frac{-2-1}{(2-3) (\sqrt{2^+-2}+ \sqrt{4^+-4}) } = \frac{-3}{-1 \cdot 0^+}=+ \infty\)