Równanie różniczkowe

[rafaa7]

Witam serdecznie, czy moglibyście mi rozwiązać podane niżej równania różniczkowe? bardzo proszę i z góry dziękuję. Nie znam się na tym, ale potrzebuję tych wyników by porównać je z tymi które wychodzą mi w matlabie. Generalnie chodzi o to, że w matlabie rozwiązuję te zadania na 2 sposoby i by dowiedzieć się, który jest dobry muszę znać wyniki tych zadań rozwiązanych "na piechotę". Proszę o pomoc.

dy/dx = 1, z warunkiem początkowym y(0)=1
dy/dx = 1-x, z warunkiem początkowym y(0)=1
dy/dx = 1-y, z warunkiem początkowym y(0)=2

[radagast]

1) dy/dx = 1, z warunkiem początkowym y(0)=1
2) dy/dx = 1-x, z warunkiem początkowym y(0)=1
3) dy/dx = 1-y, z warunkiem początkowym y(0)=2

rozumiem , ze wystarczą z Ci wyniki:
1) \(y=x+1\)
2) \(y=x- \frac{1}{2}x^2 +1\)
3) a tu mi wychodzi, ze nie ma takiego równania, bo
\(\frac{dy}{dx} =1-y\)
\(\int_{}^{} \frac{dy}{1-y}= \int_{}^{} dx\)
\(-ln(1-y)=x+C\) błąd. Powinno być: \(-ln|1-y|=x+C\)

\(ln \frac{1}{(1-y)} =x+C\) kontynuacja błędu. Powinno być: \(ln \frac{1}{|1-y|} =x+C\)

\(\frac{1}{|1-y|} =e^{x+C}\)
\(|1-y| =e^{-x+D}\)


\(y=1- \frac{1}{e^{x+D}} \vee y=1+ \frac{1}{e^{x+D}}\)

\(2=y(0)=1- \frac{1}{e^D} \Rightarrow \frac{1}{e^D}<0\) sprzeczność lub \(2=y(0) =1+ \frac{1}{e^D} \Rightarrow e^D=1 \Rightarrow D=0\)
No i rzeczywiście ostateczna odpowiedź:
\(y=1+ \frac{1}{e^{x+D}}\\y=1+ \frac{1}{e^{x}}\\y=1+e^{-x}\)

[bartek]

\(\frac{dy}{dx} =1
dy=dx
\int dy= \int dx
y=x+C
y(0)=1 \Rightarrow 1=C
y=x+1\)

[bartek]

\(\frac{dy}{dx}=1-x
dy=(1-x)dx
\int dy = \int (1-x)dx
y=x- \frac{x^2}{2}+C
y(0)=1 \Rightarrow 1=C
y=x- \frac{x^2}{2}+1\)

[rafaa7]

Dziékuje bardzo, jestem wdzieczny. Pozdrawiam

[domino21]

\(2=y(0) \Rightarrow \frac{1}{e^C}<0\) sprzeczność

czemu mniejsze od zera?

mnie wychodzi, że \(y=1+e^{-x}\) jest rozwiązaniem

[radagast]

Znalazłam błąd u siebie > Domino ma rację. Pominęłam moduł pod logarytmem. Zostawiam to "ku przestrodze"