Granice funkcji

[lord1991]

Proszę o pomoc w obliczeniu granic tych funkcji…

a) \(\lim_{x\to 0} \frac x{\sqrt {4+x}- \sqrt{4-x}}\)
Czy mogę tutaj zastosować w mianowniku a2-b2=(a-b)(a+b)?? Po takim zastosowaniu granica wychodzi mi 4, ale pewnie tak jest źle.

b) \(\lim_{x\to 1}1+ \frac {\ln x}{\sqrt {x^2-1}\)
Dobra tą jakoś ogarniam z Hospitala. Wyszło mi 1 chyba dobrze, ale nie jestem pewien.

c) \(\lim_{x\to 0} (\sin x + e^x)^{\frac 1x}\)
Tutaj już się bardzo gubię. Czy to będzie wyrażenie 1 do potęgi nieskończoność?? Jak to policzyć??

d) \(\lim _{x\to 0} (cosx)^{\frac 1{x^2}}\)
No i tutaj w ogóle nie wiem jak się za to zabrać…

Bardzo proszę o jakieś porady, sposoby, a jeśli ktoś ma chwilę, to o głębsze wytłumaczenie (już nie będę prosił o rozwiązanie, choć nie przeczę, że byłoby to pomocne)

[Psiaczek]

Proszę o pomoc w obliczeniu granic tych funkcji…



d) \(\lim_{x\to0 } \left( \cos x \right)^{ \frac{1}{x^2} }\)

No i tutaj w ogóle nie wiem jak się za to zabrać…

korzystamy z własności \(a^b=e^{b\ln a}\) i ciągłości funkcji eksponencjalnej

zostaje do policzenia granica:

\(\lim_{x\to0 } \frac{\ln(\cos x)}{x^2}\)

spokojnie daje się to policzyć bez delopitala, przekształcamy

\(\frac{\ln(\cos x)}{x^2}= \frac{\ln(1+(\cos x-1))}{\cos x-1} \frac{\cos x-1}{x^2}\)

korzystamy z granic podstawowych \(\lim_{t\to0 } \frac{\ln (1+t)}{t}=1\) oraz \(\lim_{x\to0 } \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)

w związku z tym granica ta wynosi \(- \frac{1}{2}\) a wyjściowa granica \(e^{- \frac{1}{2}}\)

[Galen]

\(a)\\ \lim_{x\to 0} \frac{x}{ \sqrt{4+x}- \sqrt{4-x} } \cdot \frac{ \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x} }{ \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x} }= \lim_{x\to 0} \frac{x( \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x}) }{2x}= \lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x} }{2}= \frac{2+2}{2}= \frac{4}{2}=2\)

[ewelawwy]

a)
\(\lim_{x\to 0} \frac x{\sqrt {4+x}- \sqrt{4-x}}=\lim_{x\to 0} \frac {x(\sqrt {4+x}+ \sqrt{4-x})}{(\sqrt {4+x}- \sqrt{4-x})(\sqrt {4+x}+ \sqrt{4-x})}=\lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt {4+x}+ \sqrt{4-x})}{4+x-4+x}=\\
=\lim_{x\to 0}\frac{x(\sqrt {4+x}+ \sqrt{4-x})}{2x}=\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt {4+x}+ \sqrt{4-x}}{2}=2\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 84-x%29%29

[Galen]

d)
\(\lim_{x\to 0}(cosx)^{ \frac{1}{x^2}}= \lim_{x\to 0}e^{ln(cosx)^{ \frac{1}{x^2}}}\)

Obliczasz granicę wykładnika potęgi dla liczby e.
\(\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}ln(cosx)= \lim_{x\to 0} \frac{ln(cosx)}{x^2}=(H)= \lim_{x\to0 } \frac{ \frac{-sinx}{cosx} }{2x}= \lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x} \cdot \frac{-1}{2cosx}=1 \cdot \frac{-1}{2}= -\frac{1}{2}\)
Szukana granica:
\(e^{- \frac{1}{2}}= \frac{1}{ \sqrt{e} }\)

[radagast]

c) \(\lim_{x\to 0} (\sin x + e^x)^{\frac 1x}\)
Tutaj już się bardzo gubię. Czy to będzie wyrażenie 1 do potęgi nieskończoność?? Jak to policzyć??

rozumiem, że reguła de l' Hospitala jest dopuszczalna:

\(\lim_{x\to 0} (\sin x + e^x)^{\frac 1x}=\lim_{x\to 0} e^{ln (\sin x + e^x)^{\frac 1x}}=\lim_{x\to 0} e^{{\frac 1x}ln (\sin x + e^x)}{x} }=\lim_{x\to 0} e^{ \frac{ln (\sin x + e^x)}{x}}=(*)\)
I teraz liczymy granicę wykładnika:
\(\lim_{x\to 0 } \frac{ln (\sin x + e^x)}{x}=^H\lim_{x\to 0 } \frac{ \frac{\cos x+e^x}{\sin x + e^x} )}{1}=2\)
zatem
\((*)=e^2\)